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4月份各种奥数杯赛接踵而来。希望杯，迎春杯，华杯赛，走美，春蕾杯等等，应接不暇。优学奥数网为大家提供了约数与倍数的奥数题例题，希望大家在复习时能 够合理的使用。 约数与倍数的奥数题例题详解 已知x、y为正整数，且满足xy-( x+y )=2p+q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求所有这样的数对(x，y ) (x≥y ) 考点：约数与倍数. 分析：此题需分类讨论，①当x是y的倍数时，设x=ky(k是正整数).解方程k(y-2)=3;②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp.解方程abp-1=(a-1)(b-1)即可.解答：解：①当x是y的倍数时，设x=ky(k是正整数). 则由原方程，得 ky•y-(ky+y)=2y+ky， ∵y≠0， ∴ky-(k+1)=2+k， ∴k(y-2)=3， 当k=1时，x=5，y=5; 当k=3时，x=9，y=3; ②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp，代入原式 得：abp2-(ap+bp)=2p+abp，即abp-1=(a-1)(b+1) 当p=1时，a+b=2，可求得a=1，b=1，此时不满足条件; 当p>1时，abp≥2ab-1=ab+(ab-1)≥ab>(a-1)(b-1) 此时，abp-1=(a-1)(b+1)不满足条件; 综上所述，满足条件的数对有 点评：本题主要考查的是最大公约数与最小公倍数.由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积.即(a，b)×[a，b]=a×b.所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数. | 
