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如图，vartriangleABC中，∠BAC=60∘,AB=2AC，点P在vartriangleABC内，且PA=3,PB=5,PC=2，求vartriangleABC的面积. 解：如右图，作vartriangleABQ，使得：∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP， 则vartriangleABQ∽vartriangleACP，由于AB=2AC，∴相似比为2 于是AQ=2AP=23,BQ=2CP=4 ∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60∘ 由AQ:AP=2:1，知∠APQ=90∘， 于是PQ=3AP=3 ∴BP2=25=BQ2+PQ2，从而∠BQP=90∘， 作AM⊥BQ于M，由∠BQA=120∘，知∠AQM=60∘,QM=3,AM=3 于是：∴AB2=BM2+AM2=(4+3)2+32=28+83 故SvartriangleABC=12⋅AB⋅ACsin60∘=38AB2=6+732. | 
