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路程问题(六年级奥数题及答案) 标签:工程问题

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路程问题

如下图,侦察员骑马从A地出发,去B地取情报.在去B地之前需要先饮一次马,如果途中没有重要障碍物,那么侦察员选择怎样的路线最节省时间,请你在图中标出来.

解答:要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线。

作点A关于河岸的对称点 A′,即作 AA′垂直于河岸,与河岸交于点C,且使AC=A′C,连接A′B交河岸于一点P,这时 P点就是饮马的最好位置,连接 PA,此时 PA+PB就是侦察员应选择的最短路线.

证明:设河岸上还有异于P点的另一点P′,连接P′A,P′B, P′A′.

∵P′A+P′B=P′A′+P′B>A′B=PA′+PB=PA+PB,而这里不等式 P′A′+P′B>A′B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段,所以PA+PB是最短路线.

此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A′B,所以这种方法也叫做化直法,其他还有旋转法、翻折法等.

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