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有理数是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。更多有理数的分类知识点如下： 数学上，有理数是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通则为a/b。0也是有理数。 有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。 有理数集可以用大写黑正体符号Q代表。但Q并不表示有理数，有理数集与有理数是两个不同的概念。有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。 加法运算 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。 异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0;若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两数相加得0。 一个数同0相加仍得这个数。 互为相反数的两个数，可以先相加。 符号相同的数可以先相加。 分母相同的数可以先相加。 几个数相加能得整数的可以先相加 减法运算 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算 乘法运算 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与零相乘，都得零。 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。 几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。 几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。[ 除法运算 除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任意一个不等于零的数，都得零。 实数分类图 注意：零不能做除数和分母。 有理数的除法与乘法是互逆运算。 在做除法运算时，根据同号得正，异号得负的法则先确定符号，再把绝对值相除。若在算式中带有带分数，一般先化成假分数进行计算。若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。 乘方运算 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。例如：(-2)3(-2的3次方)=-8，(-2)2(-2的2次方)=4。 正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。例如：2(2的2次方)=4，2 (2的3次方)=8，0(0的3次方)=0。 零的零次幂无意义。 由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。 1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1 有理数运算定律 加法运算律: 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即 。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变，即 。 减法运算律： 减法运算律：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：。 乘法运算律： 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即 。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数先乘，或者先把后两个相乘，积不变，即 。 乘法分配律：某个数与两个数的和相乘等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即 有理数试题及答案 一、耐心填一填，一锤定音(每小题3分，共30分) 1、若太平洋最深处低于海平面20234米，记作-20234米，则珠穆朗玛峰高出海平面2023米，记作______。 2、+10千米表示王玲同学向南走了10千米，那么-9千米表示_______;0千米表示_____。 3、在月球表面上，白天阳光垂直照射的地方温度高达127℃，夜晚温度可降到-183℃，那么-183℃表示的意义为_______。 4、七(8)班数学兴趣小组在一次数学智力大比拼的竞赛中的平均分数为90分，张红得了85分，记作-5分，则小明同学行92分，可记为____，李聪得90分可记为____，程佳+8分，表示______。 5、有理数中，最小的正整数是____，最大的负整数是____。 6、数轴上表示正数的点在原点的___，原点左边的数表示___，____点表示零。 7、数轴上示-5的点离开原点的距离是___个单位长度，数轴上离开原点6个单位长度的点有____个，它们表示的数是____ 8、数轴上表示 的点到原点的距离是_____ 9、在1.5-7.5之间的整数有_____，在-7.5与-1.5之间的整数有_____ 10、已知下列各数：-23、-3.14、 ，其中正整数有__________，整数有______，负分数有______，分数有_________。 二、精心选一选，慧眼识金!(每小题3分，共30分) 1、把向东运动记作“+”，向西运动记作“_”，下列说法正确的是( ) A、-3米表示向东运动了3米 B、+3米表示向西运动了3米 C、向西运动3米表示向东运动-3米 D、向西运动3米，也可记作向西运动-3米。 2、下列用正数和负数表示相反意义的量，其中正确的是( ) A、 一天凌晨的气温是-5℃，中午比凌晨上升4℃，所以中午的气温是+4℃ B、 如果+3.2米表示比海平面高3.2米，那么-9米表示比海平面低5.8米 C、 如果生产成本增加5%，记作+5%，那么-5表示生产成本降低5% D、如果收入增加8元，记作+8元，那么-5表示支出减少5元。 3、下列语句中正确的是( ) A、零是自然数 B、零是正数 C、零是负数 D、零不是整数 4、最小的正理数( ) A、是0 B、是1 C、是0.20231 D、不存在 5、下列说法中，其中不正确的是( ) A、0是整数 B、负分数一定是有理数 C、一个数不是正数，就一定是负数 D、0 是有理数 6、正整数集合与负整数集合合并在一起构成的集合是( ) A、整数集合 B、有理数集合 C、自然数集合 D、以上说法都不对 7、下列说法中正确的有( ) ① 0是取小的自然数;②0是最小的正数;③0是最小的非负数;④0既不是奇数，也不是偶数;⑤0表示没有温度。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个8、若字母 表示任意一个数，则它表示的数一定是() A、正数B、负数C、0D、以上情况都有可能 9、一辆汽车向南行驶5千米，再向南行驶-5千米，结果是() A、向南行驶10千米B、向北行驶5千米 C、回到原地D、向北行驶10千米 10、下列说法错误的是() A、 有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数 B、 一个有理不是整数就是分数 C、 正有理数分为正整数和正分数 D、负整数、负分数统称为负有理数 三、用心做一做，马到成功!(共40分) 1、(6分)把下列各数填在相应的集合内： -23,0.25， ，-5.18，18，-38，10，+7，0，+12 正数集合：{ ………} 整数集合：{ ………} 分数集合：{ ………} 2、(6分)如图所示的A、B、C表示三个数集，每个数集中所包含的数都写在各自的大括号内中，请把这些数填在集合圈内的相应位置。 A={-2，-3，-8,6，7 ………} B={-3，-5,1，2,6 ………} C={-1，-3，-8,2，5………} 3、(7分)数学魔术 如图所示，数轴上的点A、B、C、D分别表示 请回答下列问题： (1)在数轴上描出A、B、C、D四个点 (2)B、C两点间的距离是多少?A、D两点间的距离是多少? (3)现在把数轴的原点取在点B处，其余都不变，那么点A、B、C、D、分别表示什么数? 4、(7分)某校对七年级男生进行俯卧撑测试，以能做7个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，其中8名男生的成绩如下表： 2 -1 0 3 -2 -3 1 0 (1)这8名男生的达标率是百分之几? (2)这8名男生共做了多少个俯卧撑? 5、(7分)现测和的四位学生身高如下：156㎝，158㎝，153㎝，157㎝： (1)求这四名学生身高的平均值 (2)以计算的平均值为标准，将平均值记为0，用正负数表示出每位学生的身高。 6、(7分)学习数轴这节后，中午小明把刚做好的作业放在桌子上，被马虎的小刚把几滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值，写出被墨水盖住的所有整数。 参考答案： 一、 1、+2023米2、向北走了9千米，在原地3、零下183℃4、+2分，0分，98分5、1，-16、右边，负，原7、5,2，±68、 9、2,3，4,5，6,7-2，-3，-4，-5，-6，-7 10、38，+1-23,38,0，+1-3.14 ，-0.1-3.14， 二、 1、C2、C3、A4、D5、C6、D7、B8、D9、C10、A 三、 1、 正数集合：{0.25，18，10，+7，+12 ………} 整数集合：{-23，18，-38,10，+7,0，+12………} 分数集合：{0.25， ，-5.18 ………} 2、 3、 (1) (2)1.5，7 (3) 4、 (1)50%，(2)56个 5、 6、-10，-9，-8，-7，-6，5，6，7，8 | 
