假设存在λ>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为d= ⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 MA2=MB2=d2+
故当λ>12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心， 为半径的圆上.
(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：) A、B、C、D共圆 △ACD为直角三角形，A为直角 AN2 =CN•DN，即 . ⑧
由⑥式知，⑧式左边= ,由④和⑦知，⑧式右边=
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆解法2：由(Ⅰ)解法1及λ>12，
∵CD垂直平分AB，∴直线CD方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ=0.③
将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得4x2-8x+16-λ=0.⑤
解③和⑤式可得 xl，2=
不妨设A(1+
计算可得 ,∴A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.
(注：也可用勾股定理证明AC⊥AD)
专家会诊 1.重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究.2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形;研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形3.注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决;关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等.求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等.
命题角度2对双曲线相关知识的考查
1.已知双曲线x2- =1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且 ，则点M到x轴的距离为 ( )
[考场错解] B
[专家把脉] 没有理解M到x轴的距离的意义.
[对症下药] C 由题意得a=1，b= ，c= 可设M (x0，y0)MF1=ex0+a= x0+1，
MF2= ex0-a= x0-1 由MF12+MF22=F1F22得 x02=
即点M到x轴的距离为
2.已知双曲线 =1(a>0，b>0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为 (O为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
[考场错解] B
[专家把脉] 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角.
[对症下药] D 由题意得A( )s△OAF= •c• ，则两条渐近线为了y=x与y=-x则求两条渐近线的夹角为90°.
解不等式，得
专家会诊 1.注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调e>1，必须明确焦点与准线的对应性 2.由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏. 3.掌握参数a、b、c、e的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用.
命题角度3对抛物线相关知识的考查。
1.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 ( )
A.有且仅只有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在
[考场错解] D 由题意得AB=5 p=4，通径长为 2×4=8 5<8，故不存在这样的直线.
[专家把脉] 没有理解抛物线焦点的弦长及p的意义.
[对症下药] B 解法一：由题意得P=2，通径长为4，而AB=x1+x2+p=7，由7>4，则这样的直线有且仅有两条，解法二：用待定系数法设直线方程为y=k(x-1)采用设而不求的方法求出k有两个值，即直线有且仅有两条.
2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线. (1)当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论; (Ⅱ)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.
[考场错解] (Ⅱ)，设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b，过点A、B的直线方程可写为y= 与y=2x2联立得2x2+ x-m=0.得x1+ x2=- ;设AB的中点N的坐标为(x0，y0)
则x0= (x1+x2)=- ,y0=- x0+m= +m.由N∈l,得 +m=- +b，于是b= 即得l在y轴上截距的取值范围为[ ].
[专家把脉] 没有借助“△>0”来求出m> ，无法进一步求出b的范围，只好胡乱地把m当作大于或等于0.
[对症下药] (1)F∈l FA=FB A、B两点到抛物线的准线的距离相等. ∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意 y1、y2不同时为0， ∴上述条件等价于yl=y2 x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0;
∵x1≠x2，∴上述条件等价于 x1+x2=0. 即当且仅当x1+x2=0时，l经过抛物线的焦点F。
(Ⅱ)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b过点A、B的直线方程可写为y=- x+m，所以x1、x2满足方程2x2+ x-m=0，得x1+x2=- ; A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 +8m>0，即m> 设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则x0= (x1+x2)=- ，y0=- x0+m= +m
由N∈l，得 +m=- +b，于是b= +m> 即得l在y轴上截距的取值范围为( ，+∞).
3.如图，过抛物线y2=2px(p>0)上一定点p(x0，y0)(y0>0)，作两条直线分别交抛物线于A (x1，y1)，B(x2，y2).(1)求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点F的距离; (Ⅱ)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.
[考场错解] (1)当y= 时，x= 又抛物线的准线方程为x=-P，由抛物线定义得，所求距离为
(Ⅱ)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB由y21=2px1,y20=2px0
相减得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故kPA= (x1≠x0).
同理可得kpB= (x2≠x0)由kPA=-kPB得y0=-2 (yl+y2)故
设直线AB的斜率为kAB。由y22=2px2,y21=2px1 相减得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)
故kAB= 将y1+y2=- y0(y0>0)代入得kAB=- 故kAB是非零常数.
[专家把脉] ①没有掌握抛物线的准线方程，②计算不够准确.
[对症下药] (1)当y= 时，x= ，又抛物线y2= 2px的准线方程为x= ，
由抛物线定义得，所求距离为 -(- )=
(Ⅱ)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB
由y12=2px1，y20=2px0相减得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0)，
故kPA= (x1≠x0).同理可得kPB= (x2≠x0).
由PA、PB倾斜角互补知kPA=-kPB，即 =- ，所以yl+y2=-2y0，
故 =-2. 设直线AB的斜率为kAB
由y22=2px2，y21=2pxl
相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，
所以
将yl+y2=-2y0(y0>0)代入得
所以kAB是非零常数.
4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图所示).
(1)求△AOB的重心C(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
(Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值;若不存在，请说明理由.
[考场错解](Ⅰ)设△AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则
∵OA x1x2+yly2=0(2)
又点A、B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化简得xlx2=0或-1
∴y= [(x1+x2)2-2x1x2]=3x2+ 或3x2，故重心为G的轨迹方程为y=3x2或y=3x2+ .
[专家把脉]没有考虑到x1x2=0时，△AOB不存在
[对症下药] (Ⅰ)设△AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则
又点A、B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化简得xlx2=-1
∴y= [(x1+x2)2-2x1x2]= =3x2+ 所以重心为G的轨迹方程为y=3x2+
(Ⅱ)S△AOB=
由(1)得S△AOB=
当且仅当x16=x26即x1=-x2=-1时，等号成立。所以△AOB的面积存在最小值，最小值为1。
专家会诊用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。
∴(x1，yl-1)= (x2，y2-1)由此得x1= x2，由于x1， x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以 消去x2得
[专家把脉] (1)没有考虑到1-a2≠0(Ⅱ)没有注意到题目本身的条件a>0.
[对症下药] (1)由C与l相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0所以 解得0 且e≠ ，即离心率e的取值范围为( )∪( ).
(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1).∵ ∴(x1,y1-1)= (x2,y2-1)由此得x1= x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以 x2=- ，消x2，得- ，由a>0，所以a=
2.给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点 (1)设l的斜率为1，求 与 夹角的大小; (Ⅱ)设 ，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围.
[考场错解] (1)设 与 夹角为α;由题意l的方程为了y=x-1，将y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0设A(x1，y1)B(x2，y2)则有x1+x2=6，x1x2=1.易得 • =x1x2+y1y2=-3， cosα= ∴α=-arccos
(Ⅱ)由题意知 ，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A'、B'.
∴FB=BB'，AF=AA' ∴BB’=λAA'，λ∈[4， 9]
设l的方程为y=k(x-1)由 得k2x2-(2k2 +4)x+k2=0
∴x= ∴AA'= +l =
BB'=
[专家把脉] (Ⅰ)没有理解反余弦的意义.(Ⅱ)思路不清晰.
[对症下药] (1)C的焦点为F(1，0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为了y=x-1.
将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有xl+x2=6，x1x2=1.
=(x1，y1)•(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3.
所以 与 夹角的大小为π-arc cos (Ⅱ)由题设 得 (x2-1，y2)=λ(1-x1，-y1)，
即 由②得y22=λ2y21.∵y21=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1 ③
联立①、③解得x2=λ，依题意有λ>0，∴B(λ，2 )或B (λ，-2 )，又9(1，0)，得直线
(2)当PF1=F1F2时，同理可得 解得e2=3于是λ=1-3=-2.
(3)当PF2=F1F2时，同理可得 =4c2 解得e2=1 于是λ=1-1=0
综上所述，当λ= 或-2或0时△PF1F2，F2为等腰三角形.
[专家把脉] (1)没有注意到因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有PF1=F1F2 (2)没有注意到椭圆离心率的范围.
[对症下药] (1)证法一：因为A、B分别是直线l：y= ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(- )(0,a). 由
所以点M的坐标是(-c, )，由 得(-c+ )=λ( ，a). 即
证法二：因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(- ，0)，(0，a)，设M的坐标是(x0，y0)，由 得( )，
所以 因为点M在椭圆上，所以 =1，
即 e4-2(1-λ)e2+(1-λ)2=0，解得e2=1-λ 即λ=1-e2.
(Ⅱ)解法一：因为PF1⊥l，所以 ∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有PF1=F1F2,即 PF1=c. 设点F1到l的距离为d，由 PF1=d， = ,得
=e.所以e2= ，于是λ=1-e2= .即当λ= 时，△PF1F2为等腰三角形.
解法二：因为PF1⊥l，所以，∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有PF1=F1F2,设点P的坐标是(x0，y0)，
则 解得 由PF1=FlF2得 =4c2，
两边同时除以4a2，化简得 =e2.从而e2= 于是λ=l-e2= .即当λ= 时，△PF1F2为等腰三角形.
4.抛物线C的方程为y=ax2(a<0)，过抛物线C上一点P(x0，y0)(x0≠0)作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1，y1)B(x2，y2)两点(P、A、B三点互不相同)，且满足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1).
(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)设直线AB上一点M满足 =λ ，证明线段PM的中点在y轴上 (Ⅲ)当A=1时，若点P的坐标为(1，-1)，求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围.
[考场错解] (1)抛物线C的方程y=ax2(a<0)得，焦点坐标为( ，0)准线方程为x=-
(Ⅲ)∵P(-1，1)在y=ax2上，故a=-1∴y=-x2
由(Ⅱ)易得y1=-(k1+1)2，y2=(k2+1)2，因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A(-k1 -1,-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k21+2k1-1)
于是 = (k1+2,k21+2k1)， =(2k1，4k1)， 2k1(k1+2)(2k1+1)因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有 • <0易得k1的取值范围是 k1<-2或
故当k1<-2时，y¬<-1;当-
[专家把脉] 没有掌握好抛物线的标准形式及交并集的概念.
[对症下药] (1)由抛物线C的方程y=ax2(a<0)得，焦点坐标为(0， )，准线方程为y=- .
(Ⅱ)证明：设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0)，直线 PB的方程为y-y0=k2(x-x0).
点P(x0，y0)和•点A(x1，y1)的坐标是方程组
的解.将②式代入①式得ax2-k1x+klx0-y0=0，于是 x1+x0= ，故x1= -x0③
又点P(x0，y0)和点B(x2，y2)的坐标是方程组
的解.将⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0-y0=0.于是x2+x0= ，故x2= -x0, 由已知得，k2=-λkl，则x2= ⑥设点M的坐标为(xM,yM)，由 =λ ，则xM= .将③式和⑥式代入上式得 x0，即xM+x0=0.所以线段PM的中点在y轴上.
(Ⅲ)因为点P(1，-1)在抛物线y=ax2上，所以a=-1，抛物线方程为y=-x2.由③式知x1=-k1-1，代入y=-x2得y1=-(k1+1)2.将λ=1代入⑥式得x2=k1-1，代入y=-x2得y2=- (k2+1)2.因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为 A(-k1，-1，-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k12+2k1-1).
于是 =(k1+2，k12+2k1)， =(2K1，4K1)， = 2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1).因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有 <0.求得k1的取值范围是k1<-2或-
专家会诊 1.判定直线与圆锥曲线交点个数的基本方法是联立方程组，判断方程组解的组数，对于直线与双曲线的交点个数问题还可借助直线与渐近线斜率的关系来判断，而直线与抛物线的位置关系则可借助直线与抛物线对称轴的位置关系来判定，不可混淆.2.涉及弦长的问题中，应熟练地利用韦达定理，设而不求计算弦长，不要蛮算，以免出现差错.3.涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化。
命题角度5对轨迹问题的考查
1.(典型例题)已知双曲线的中心在原点，离心率为若它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合，则该双曲线与抛物线y2=4x的交点到原点的距离是 ( )
A.2 B. C.18+12 D.21
[考场错解] C
[专家把脉] 对双曲线的定义理解不够深刻.
[对症下药] B 设双曲线方程为 =1，由题意得 则a= b= ，则双曲线方程为 =1,由 得A(3，2 )，故交点到原点的距离为
2.(典型例题)已知点A(-2，0)、B(3，0)，动点P(x，y)满足 =x2，则点P的轨迹是 (Ⅱ)直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0由题意得 • =d2即 =d2
∴k2x2-y2±(k2+1)d2=0故动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2±(k2+1)d2=0
(Ⅲ)略
[专家把脉] 没有很好地理解题意，第二问出现两解，致使第三问过于复杂难以完成.
[对症下药] 解：(I)W1={(x，y)kx0}，
(Ⅱ)直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0，由题意得 • =d2，即 =d2，
由P(x，y)∈W，知k2x2-y2>0，所以 =d2，即k2x2-y2-(k2+1)d2=0，
所以动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2-(k2+1)d2=0;
(Ⅲ)当直线J与，轴垂直时，可设直线J的方程为，x=a (a≠0).由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为(a，0)，所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为( a，0)，即它们的重心重合，
当直线l1与x轴不垂直时，设直线J的方程为y=mx+n(n ≠0).
由 , 得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0
在△QF1F2中 故有x2+b2= a2(x=±a)
(Ⅲ)C上存在M(x0，y0)使s=b2的充要条件是：
又 =(-C-x0-y0)， =(c-x0,y0)由 • =x02-c2+y20=a2-c2=b2
即 cos∠F1MF2=b2又s= sin∠FlMF2得tan ∠FlMF2=2
[专家把脉] (1)没有注意证明题的书写格式(2)思考问题不够全面.
[对症下药] (1)证法一：设点P的坐标为(x，y).由P(x，y)在椭圆上，得
2
由x≤a，知a+ ≥-c+a>0，所以 =a+ x.新课 标第 一网
证法二：设点P的坐标为(x，y).记
则r1= ，r2= .
由r1+r2=2a，r21-r22=4cx，得 =r1=a+ .
证法三：设点P的坐标为(x，y).椭圆的左准线方程a+ =0.
由椭圆第二定义得 即
由x≥-a，知a+ ≥-c+a>0，所以 =a+
(Ⅱ)解法一：设点T的坐标为(x，y).当 =0时，点(a，0)和点(-a，0)在轨迹上.当 且 时，由 =0，得 又 ，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中， =a，所以有x2+y2=a2综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2
解法二：设点T的坐标为(x，y).当 =0时，点(a，0)和点(-a，0)在轨迹上.
当 且 时，由 又 = ，所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为(x'，y')，则 因此 ①由 =2a得(x'+c)2+y'2=4a2.②
将①代入②，可得x2+y2=a2.综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2
(Ⅲ)解法一：C上存在点M(x0，y0)使S=b2的充要条件是
由③得，y0≤a，由④得，y0≤ ，所以，当a≥ 时，存在点M，使S=b2;
当a< 时，不存在满足条件的点M.当a≥ 时， =(-c-c0,-y0)， =(c-c0,-y0)，
由 • =x02-c2+y20=a2-c2=b2，
解法二：C上存在点M(x0，y0)使S=b2的充要条件是
由④得y0 ，上式代入③得x20=a2- =(a- ) (a+ )≥0.
于是，当a≥ 时，存在点M，使s=b2;当a< 时，不存在满足条件的点M.
当a≥ 时，记k1=kF1M=
由F1F2<2a,知∠F1MF2<90°，所以tan∠F1MF2= =2.
专家会诊 (1)求轨迹方程的本质是用代数形式将动点的运动规律表示出来，实质上是一个翻译过程，故选取一定解题策略找到动点运动规律的一些表现形式是关键，往往和研究曲线几何性质，讨论直线与曲线位置关系等联系在一起.(2)求轨迹要注意取值范围和“杂点”的去除.
故舍去
综上所述：当x= 时d取得最小值
[专家把脉] 没有考虑到椭圆的分面有界性，致使思路不清晰，计算繁琐.
[对症下药] [解](1)由已知可得点A(-6，0)，F(0，4)
设点P(x，y)，则 =(x+6，y)， =(x-4，y)，由已知可得
则 2x2+9x-18=0，x= 或x=-6.由于y>0，只能x= ，于是y= 点P的坐标是( )
(2)直线AP的方程是x- +6=0.设点M(m，0)，则M到直线AP的距离是 .于是 = m-6，又-6≤m≤6，解得m=2.椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有，d2=(x-2)2+y2 =x2-4x+4+20- x2 = (x- )2+15，由于-6≤m≤6，∴当x= 时，d取得最小值
2.如图，直线y= x严与抛物线y= x2-4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于点Q. (1)求点Q的坐标 (2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时，求△OPQ面积的最大值.
[考场错解] (1)略(Ⅱ)由(1)得Q(5，-5) 直线OQ的方程为x+y=0
设P(x, -4)∵点P到直线OQ的距离
d=
∵-4≤x≤8. ∴S△OPQ最大值= (-4+4)2-48=15
[专家把脉] 要注意二次函数最大值的求法.
[对症下药] (1)解方程组 ，得 即A(-4，-2)，B(8，4)，从而AB的中点为M(2，1)，由 ，得线段AB的垂直平分线方程y-1=-2(x-2).令y=-5，得x=5，∴Q(5，-5).
(2)直线OQ的方程为x+y=0，设P(x， -4)，∵点P到直线OQ的距离d= ∵P为抛物线上位于线段AB下方点，且P不在直线OQ上. ∴ -4≤x<4 -4或4 -4
3.设椭圆方程为x2+ =1，过点M(0，1)的直线l交椭圆于点A、B、O是坐标原点，点P满足 ，点N的坐标为( ， )，当l绕点M旋转时，求： (Ⅰ)动点户的轨迹方程; (Ⅱ) 的最小值与最大值.
[考场错解] (1)①若l的斜率存在，设为k，则l：y =kx+1代入4x2+y2=4中得，(k2+4)x2+2kx-3=0
∴x1+x2=
i)A=0时，x=0 y=1，∴P(0，1)
ii)k≠0时，k= ∴P点的轨迹为：x2+y2-y=0(y≠O)
②若l不存在斜率，∴A、B为上、下顶点.∴P(0，0)
(2)解：∵N( )，i)，∵k不存在时P(0，0)， ii) k=0时P(0，1). iii)k≠0时x2+(y- )2= 。又∵N( ) max=2r=1 ∴ min=0.
[专家把脉] 思路不清晰.
[对症下药] (1)解法一：直线l过点M(0，1)，设其斜率为A，则J的方程为y=kx+1.
记A(x1，y1)、B(x2，y2)，由题设可得A、B的坐标(x1，y1)、(x2,y2)是方程组 的解.
将①代入②并化简得.(4+k2)x2+2kx-3=0.所以 于是
设点P的坐标为(x，y)，则 消去参数k得 4x2+y2-y=0. ③当k不存在时，A、B中点为坐标原点(0，0)，也满足方程③，所以点P的轨迹方程为 4x2+y2-y=0
解法二：设点P的坐标为(x，y)，因A(x1，y1)、B(x2，y2)在椭圆上，所以
④ ⑤④-⑤得 所以(x1-x2)(x1+x2)+ (y1-y2)(y1+y2)=0
当x1≠x2时，有 ⑥并且 ⑦
将⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0.⑧
当x1=x2时，点A、B的坐标为(0，2)、(0，-2)，这时点p的坐标为(0，0)也满足⑧，所以点P的轨迹方程为
(Ⅱ)解法：由点P的轨迹方程知x2≤ 。 即- ≤x≤ 所以
故当x= 时， 取得最小值，最小值为 ，当x= 时， 取得最大值，最大值为
由 消去x得y2-2(k2+b)y+b2=0③
则
的取值范围是[2，+∞].
[专家把脉] (1)没有注意“杂点”的去除;(Ⅱ)没有注意利用重要不等式时等号成立的条件.
[对症下药] 解法：(1)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)、M (x0，y0)，依题意x1≠0，yl>0，y2>0.由y= x2，①得y'=x. ∴过点P的切线的斜率k切=x1, ∵x1=0不合题意， ∴x1≠0.
∴直线l的斜率k1= ,直线l的方程为y- x21= (x-x1).②
方法一：联立①②消去y，得x2+ -x21-2=0. ∵M为PQ的中点，
消去x1,得y0=x02+ +1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+ +1(x≠0)，
方法二：由y1= x21,y2= x22，x0= ，得y1-y2= x21- x22= (x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2)，则x0= k1=- ∴x1=- ,将上式代入②并整理，得y0=x20+ +1(x0≠0)， ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+ +1(x≠0).
(Ⅱ)设直线l：y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).分别过P、Q作PP'⊥x轴，QQ'⊥y轴，垂足分别为p'、 Q'，则
由 消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0.③则
方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=kTP,即 则x1y2-bx1=x2y1-bx2，即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).于是b=
可取一切不等于l的正数， 的取值范围是(2，+∞).
专家会诊①直线过定点的问题，常用直线系的思想处理. ②定值问题常常用函数的思想处理，即把所求定值通过一些基本变量表示，最终化成常数.③最值问题往往用几何方法，函数或不等式等方法处理.
四、典型习题导练
1、已知椭圆 右顶点与右焦点的距离为 ，短轴长为 (I)求椭圆的方程;(Ⅱ)过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为 求直线AB的方程。
【解析】(Ⅰ)由题意， -----1分解得 -----2分
即：椭圆方程为 -----4分
(Ⅱ)当直线 与 轴垂直时， ， 此时 不符合题意故舍掉;
当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为： ，代入消去 得：
------5分 设 ，则 ，
所以 -----7分原点到直线的 距离 ，
所以三角形的面积 .由 ，
所以直线 或 .--------12分
2、设椭圆 的左焦点为 ，左、右顶点分别为 ，上顶点为 ，过 三点做 .(Ⅰ)若 是 的直径，求椭圆的离心率;(Ⅱ)若 的圆心在直线 上，求椭圆的方程。
【解析】(Ⅰ)由椭圆的方程知 ∴ 设 …1分∵ 是 的直径，
∴ ,∵ ∴ ，…2分∴ ，
解得： …5分∴椭圆的离心率 …6分
(Ⅱ)解：∵ 过点 三点，∴圆心 即在 的垂直平分线，也在 的垂直 端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点 与 轴不垂直的直线 交椭圆于 ， 两点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)在线段 上是否存在点 ,使得 ?若存在，求出 的取值范围;若不存在，请说明理由.
【解析】(Ⅰ)因为椭圆的短轴长： ，又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，所以： ;故椭圆的方程为： ……4分
(Ⅱ)(1)若 与 轴重合时，显然 与原点重合， ;
(2)若直线 的斜率 ，则可设 ，设 则：
所以化简得： ;
的中点横坐标为： ，代入 可得： 的中点为
， 由于 得到 所以：
直线 …10分
.12分
直线 恒过定点 .……13分
5、设椭圆 的离心率与双曲线 的离心率互为倒数，且内切于圆 。(Ⅰ)求椭圆 的方程;(Ⅱ)若直线 交椭圆于A、B两点，椭圆上一点 ，求 面积的最大值。
【解析】(Ⅰ)双曲线的离心率为 ，则椭圆 的离心率为 ，圆 的直径为 ，则 ，由 所求椭圆 的方程为 …12分
6、已知椭圆 的右焦点恰好是抛物线 的焦点F，点A是椭圆E的右顶点. 过点A的直线 交抛物线C于M，N两点，满足 ，其中 是坐标原点. (Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)过椭圆E的左顶点B作 轴平行线BQ，过点N作 轴平行线NQ，直线BQ与NQ相交于点Q. 若 是以MN为一条腰的等腰三角形，求直线MN的方程.
【命题意图】本题考查椭圆、抛物线等基础知识，考查转化求解能力.
【解析】(Ⅰ) ，∴ ，设直线 代入 中，整理得 .设 ，则 ，又∵ ，
∴ ，由 得 ，解得 或 (舍)，
得 ，所以椭圆 的方程为 .
(Ⅱ)椭圆E的左顶点 ，所以点 .易证M，O，Q三点共线.当QM为等腰 的底边时，由于 ，∴O是线段MQ的中点，∴ 所以 ，即直线 的方程为 ;
当QN为等腰 底边时， ，又∵ ，解得 或 ∴ ，所以直线MN的方程为 ，即 .综上所述，当 为等腰三角形时，直线MN的方程为 或 .
7、在平面直角坐标系 中，动点 到定点 的距离比它到 轴的距离大 ，设动点 的轨迹是曲线 .(Ⅰ)求曲线 的轨迹方程;(Ⅱ)设直线 : 与曲线 相交于 、 两点，已知圆 经过原点 和 两点，求圆 的方程,并判断点 关于直线 的对称点 是否在圆 上.
【解析】解：(1)由已知，即动点 到定点 的距离等于它到定直线 的距离，…2分
∴动点 的轨迹曲线 是顶点在原点，焦点为 的抛物线和点 …………4分
∴曲线 的轨迹方程为 和 .…6分由 解得 或
…8分即 , 设过原点与点 、 的圆 的方程为 ，
则 ,解得 ∴圆 的方程为 即
…10分由上可知，过点 且与直线 垂直的直线 方程为：
解方程组 ，得 即线段 中点坐标为 ……12分
从而易得点 关于直线 的对称点 的坐标为 把代入 代入：
∴点 不在圆 上.……14分
8、过抛物线 上不同两点 、 分别作抛物线的切线相交于点 )， .(Ⅰ)求 ;(Ⅱ)求证：直线 恒过定点;(Ⅲ)设(Ⅱ)中直线 恒过定点为 ，若 恒成立，求 的值.
【解析】(Ⅰ)设 ， ， .由 ，得： ， ，
， ， .直线 的方程是： .即 .
同理，直线 的方程是： .②由①②得： ， .
(Ⅱ)恒过点 … 8分
(Ⅲ)由(Ⅰ)得： ， ， ，
， .
. .故 .
9、已知点 ,直线 与直线 斜率之积为 ，记点 的轨迹为曲线 .(Ⅰ)求曲线 的方程;(Ⅱ)设 是曲线 上任意两点，且 ,是否存在以原点为圆心且与 总相切的圆?若存在，求出该圆的方程;若不存在，请说明理由.
【解析】(Ⅰ)设 则由直线 与直线 斜率之积为 得 ， .
.(*)
由 得 ，整理得 .代入(*)式解得
此时 中 .此时原点O到直线 的距离
.故原点O到直线 的距离恒为 .存在以原点为圆心且与 总相切的圆，方程为 .--12分
10、已知对称中心为坐标原点的椭圆 与抛物线 有一个相同的焦点 ，直线 与抛物线 只有一个公共点.(1)求直线 的方程;(2)若椭圆 经过直线 上的点 ，当椭圆 的的离心率取得最大值时，求椭圆 的方程及点 的坐标.
(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力)
.… 3分∴直线 的方程为 .…… 4分
(2)法1：∵抛物线 的焦点为 ， 依题意知椭圆 的两个焦点的坐标为
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 …7分 解得 ∴点 … 8分 ∴直线 与直线
的交点为 9分由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆 的长轴长
其中当点 与点 重合时，上面不等式取等号∴ . ∴ .
故当 时， ， 12分此时椭圆 的方程为 ，点 的坐标为 … 14分
法2：∵抛物线 的焦点为 ， 依题意知椭圆 的两个焦点的坐标为 .5分
设椭圆 的方程为 ，… 6分由 消去 ，
得 .(*) 7分
若直线 交直线 于点 ，过 作直线 的垂线交 轴于点 ，求 的坐标; (Ⅲ)求点 在直线 上射影的轨迹方程.
【解析】(Ⅰ)由题意知 ,故椭圆方程为 ......3分
(Ⅱ)设 ， 则由图知 ，得 ,故 .
设 ,由 得： ， .
又 在椭圆上，故 ，化简得 ，即 ....8分
(Ⅲ)点 在直线 上射影即PQ与MB的交点H，由 得 为直角三角形，设E为 中点，则 = = ， ，因此H点的轨迹方程为 .
由点 知直线 的方程为 .分别在其中令
及 得 .5分将 的坐标代入 中得
,即 ,7分所以 8分
(Ⅱ)设椭圆 的方程为 ,将 , 代入,
得 ,9分解得 , 由 得 . 10分
椭圆 的焦距
(或 ) 12分
当且仅当 时,上式取等号, 故 , 13分
此时椭圆 的方程为 14分
13、已知点P是圆F1： 上任意一点，点F2与点F1关于原点对称. 线段PF2的中垂线与PF1交于M点.(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程;(Ⅱ)设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得HK=KQ，连结AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点.试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.
【解析】(Ⅰ)由题意得， (1分)
圆 的半径为4，且 (2分)
从而 (3分)
∴ 点M的轨迹是以 为焦点的椭圆,其中长轴 ,焦距 ，则短半轴 (4分)椭圆方程为: (5分)
(Ⅱ)设 ，则 .∵ ，∴ .∴ (6分)
∴ 点在以 为圆心，2为半径的的圆上.即 点在以 为直径的圆 上.(7分)
又 ，∴直线 的方程为 .(8分)令 ，得 (9分)
又 ， 为 的中点，∴ (10分)∴ ， (11分)
∴
(Ⅱ)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y并整理，得(1+k2)x2+2kmx+m2-a2=0，
则△=4k2m2-4(1+k2)(m2-a2)=4(k2a2+a2-m2)>0，且x1+x2=，x1x2=.
∴y1 y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.∵直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，∴•==k2，即+m2=0，又m≠0，∴k2=1，即k=±1.
设点O到直线l的距离为d，则d=，∴S△OAB=ABd=x1-x2 •
=x1-x2 m=.由直线OA，OB的斜率存在，且△>0，得0
∴0<<=a2.故△OAB面积的取值范围为(0，a2).…(10分)
(Ⅲ)对椭圆Γ而言，有如下类似的命题：“设不过原点O的直线l与椭圆Γ交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，则△OAB面积的取值范围为(0，ab).”……(13分)
15、已知 分别为椭圆 的左右焦点， 分别为其左右顶 点，过 的直线 与椭圆相交于 两点. 当直线 与 轴垂直时，四边形 的面积等于2，且满足 .⑴求此椭圆的方程;⑵当直线 绕着焦点 旋转但不与 轴重合时，求 的取值范围.
【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.
【解析】⑴当直线 与x轴垂直时，由 ，得 .
又 ,所以 ，即 ，又 ，
解得 . 因此该椭圆的方程为 . (4分)
⑵设 ，而 ，所以 ， ，
， .从而有
. (6分)
因为直线 过椭圆的焦点 ，所以可以设直线 的方程为 ，则由 消去 并整理，得 ，所以 ， . (8分)
进而 ， ，可得 . (10分)
令 ，则 . 从而有 ，而 ，
所以可以求得 的取值范围是 .(12分)
16、已知 、 分别是椭圆C ： 的左、右焦点，
M、N分别是双曲线C ： 的左、右焦点，
过N作双曲线渐进线的垂线，垂足为P，
若PF ⊥x轴(1)椭圆C 与双曲线C 的方程;
(2)分别过F 和N作两条平行线 、 ， 交椭圆于A、B， 交双曲线右支于D、E，问：是否存在 ，使得 为定值，若不存在，说明理由。
解：(1)可求出a2=2 ∴两种曲线的方程分别为
(2)若L1，L2不垂直于x轴，设其斜率为k，则
, 定值为 当L1，L2与x轴垂直时
, 定值为
17、如图，过点 作抛物线 的切线 ，切点A在第二象限.(1)求切点A的纵坐标;(2)若离心率为 的椭圆 恰好经过切点A，设切线 交椭圆的另一点为B，记切线 、OA、OB的斜率分别为 ，求椭 (2)由(1)得 ，切线斜率 ，设 ，切线方程为 ，由 ，
得 .…7分所以椭圆方程为 ，且过 ， .…9分
由 ， ，…11分
…15分
18、已知曲线 都过点A(0，-1)，且曲线 所在的圆锥曲线的离心率为 .(Ⅰ)求曲线 和曲线 的方程;
(Ⅱ)设点B,C分别在曲线 ， 上， 分别为直线AB,AC的斜率,
当 时，问直线BC是否过定点?若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.
，即 .…12分故 过定点 .…13分
19、在ΔABC中，顶点A,B, C所对三边分别是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c成等差数列.(I )求顶点A的轨迹方程;(II) 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P(0,- )的直线l,使得点M、N关于l对称，求实数m的取值范围.
【解析】(I)由题知 得b+c=4，即AC+AB=4(定值).由椭圆定义知，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(除去左右顶点)，且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为 .∴ 顶点A的轨迹方程为 .…4分
(II)由 消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0.
∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)×4(m2-3)>0，整理得：4k2>m2-3.①令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
设MN的中点P(x0，y0)，则
，……7分
i)当k=0时，由题知， .………8分
ii)当k≠0时，直线l方程为 ，由P(x0，y0)在直线l上，得 ，得2m=3+4k2.②
把②式代入①中可得2m-3>m2-3，解得00，解得 .∴ .
验证：当(-2，0)在y=kx+m上时，得m=2k代入②得4k2-4k+3=0，k无解.即y=kx+m不会过椭圆左顶点.同理可验证y=kx+m不过右顶点.∴ m的取值范围为( ).…………11分
综上，当k=0时，m的取值范围为 ;当k≠0时，m的取值范围为( ).…12分
20、已知圆 的圆心在坐标原点 ,且恰好与直线 相切. (Ⅰ) 求圆的标准方程;(Ⅱ)设点 为圆上一动点, 轴于 ,若动点 满足 ,(其中 为非零常数),试求动点 的轨迹方程 ;(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下，当 时, 得到曲线 ，与 垂直的直线 与曲线 交于 、 两点,求 面积的最大值.
【解析】 (Ⅰ)设圆的半径为 ,圆心到直线 距离为 ，则 2分圆 的方程为
(Ⅱ)设动点 , , 轴于 ,
由题意, ，所以 5分
即: ，将 代入 ,得 7分
