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1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(π2-a)=cos(a) cos(π2-a)=sin(a) sin(π2+a)=cos(a) cos(π2+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b) tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b) 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2) sin(a)sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2) 4.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(b) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 5.半角公式 sin2(a2)=1-cos(a)2 cos2(a2)=1+cos(a)2 tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a) 6.万能公式 sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2) cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2) tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2) 7.其它公式(推导出来的 ) asin(a)+bcos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=ba asin(a)+bcos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab 1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))2 1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2 公式分类 公式表达式 乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根 b2-4ac0 注：方程有一个实根 b2-4ac0 注：方程有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h 正棱台侧面积 S=1/2(c+c 圆台侧面积 S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r 0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=SL 注：其中,S是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱 一生受用的数学公式 坐标几何 一对垂直相交于平面的轴线，可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。轴线的交点是 (0, 0)，称为 原点。水平与垂直方向的位置，分别用x与y代表。 一条直线可以用方程式y=mx+c来表示，m是直线的斜率(gradient)。这条直线与y轴相交于 (0, c)，与x轴则相交于(?c/m, 0)。垂直线的方程式则是x=k，x为定值。 通过(x0, y0)这一点，且斜率为n的直线是 y?y0=n(x?x0) 一条直线若垂直于斜率为n的直线，则其斜率为?1/n。通过(x1, y1)与(x2, y2)两点的直线是 y=(y2?y1/x2?x1)(x?x2)+y2 x1≠x2 若两直线的斜率分别为m与n，则它们的夹角θ满足于 tanθ=m?n/1+mn 半径为r、圆心在(a, b)的圆，以(x?a) 2+(y?b) 2=r2表示。 三维空间里的坐标与二维空间类似，只是多加一个z轴而已，例如半径为r、中心位置在(a, b, c)的球， 以(x?a) 2+(y?b) 2+(z?c) 2=r2表示。 三维空间平面的一般式为ax+by+cz=d。 三角学 边长为a、b、c的直角三角形，其中一个夹角为θ。它的六个三角函数分别为：正弦(sine)、余弦 (cosine)、正切(tangent)、余割(cosecant)、正割(secant)和余切(cotangent)。 sinθ=b/ccosθ=a/ctanθ=b/a cscθ=c/bsecθ=c/acotθ=a/b 若圆的半径是1，则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。 a=cosθb=sinθ 依照勾股定理,我们知道a2+b2=c2。因此对于圆上的任何角度θ，我们都可得出下列的全等式： cos2θ+sin2θ=1 三角恒等式 根据前几页所述的定义，可得到下列恒等式(identity)： tanθ=sinθ/cosθ，cotθ=cosθ/sinθ secθ=1/cosθ，cscθ=1/sinθ 分别用cos 2θ与sin 2θ来除cos 2θ+sin 2θ=1，可得： sec 2θ?tan 2θ=1及csc 2θ?cot 2θ=1 对于负角度，六个三角函数分别为： sin(?θ)= ?sinθ csc(?θ)= ?cscθ cos(?θ)= cosθsec(?θ)= secθ tan(?θ)= ?tanθ cot(?θ)= ?cotθ 当两角度相加时，运用和角公式： sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ cos(α+β)= cosαcosβ?sinαsinβ tan(α+β)= tanα+tanβ/1?tanαtanβ 若遇到两倍角或三倍角，运用倍角公式： sin2α= 2sinαcosα sin3α= 3sinαcos2α?sin3α cos2α= cos 2α?sin 2α cos3α= cos 3α?3sin 2αcosα tan 2α= 2tanα/1?tan 2α tan3α= 3tanα?tan 3α/1?3tan 2α 二维图形 下面是一些二维图形的周长与面积公式。 圆： 半径= r直径d=2r 圆周长= 2πr =πd 面积=πr2 (π=3,高中化学.2023926…….) 椭圆： 面积=πab a与b分别代表短轴与长轴的一半。 矩形： 面积= ab 周长= 2a+2b 平行四边形(parallelogram)： 面积= bh = ab sinα 周长= 2a+2b 梯形： 面积= 1/2h (a+b) 周长= a+b+h (secα+secβ) 正n边形： 面积= 1/2nb2 cot (180°/n) 周长= nb 四边形(i)： 面积= 1/2ab sinα 四边形(ii)： 面积= 1/2 (h1+h2) b+ah1+ch2 三维图形 以下是三维立体的体积与表面积(包含底部)公式。 球体： 体积= 4/3πr3 表面积= 4πr2 方体： 体积= abc 表面积= 2(ab+ac+bc) 圆柱体： 体积= πr2h 表面积= 2πrh+2πr2 圆锥体： 体积= 1/3πr2h 表面积=πr√r2+h2 +πr2 三角锥体： 若底面积为A， 体积= 1/3Ah 平截头体(frustum)： 体积= 1/3πh (a2+ab+b2) 表面积=π(a+b)c+πa2+πb2 椭球： 体积= 4/3πabc 环面(torus)： 体积= 1/4π2 (a+b) (b?a) 2 表面积=π2 (b2?a2) | 
