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题型一 等差、等比数列的基本运算 例1 已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10=2a5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm. 破题切入点 (1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得a1和d，从而求出an. (2)求出bm，再根据其特征选用求和方法. 解 (1)设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn， 由T5=105，a10=2a5， 得5a1+5×(5-1)2d=105，a1+9d=2(a1+4d)， 解得a1=7，d=7. 因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N*). (2)对m∈N*，若an=7n≤72m，则n≤72m-1. 因此bm=72m-1. 所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列， 故Sm=b1(1-qm)1-q=7×(1-49m)1-49=7×(72m-1)48 =72m+1-748. 题型二 等差、等比数列的性质及应用 例2 (1)已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7a14的最大值是() A.25B.50C.100D.不存在 (2)在等差数列{an}中，a1=-2023，其前n项和为Sn，若S2023-S2023=2，则S2023的值为() A.-2023B.-2023C.-2023D.-2023 破题切入点 (1)根据等差数列的性质，a7+a14=a1+a20，S20=20(a1+a20)2可求出a7+a14，然后利用基本不等式. (2)等差数列{an}中，Sn是其前n项和，则Snn也成等差数列. 答案 (1)A (2)D 解析 (1)∵S20=a1+a202×20=100，∴a1+a20=10. ∵a1+a20=a7+a14，∴a7+a14=10. ∵an0，∴a7a14≤a7+a2023=25. 当且仅当a7=a14时取等号. 故a7a14的最大值为25. (2)根据等差数列的性质，得数列Snn也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S11=a1=-2023，公差d=1，故S20232023=-2023+(2023-1)×1=-1，所以S2023=-2023. 题型三 等差、等比数列的综合应用 例3 已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn=3(an-1)，其中n∈N*. (1)证明：数列{an}为等比数列; (2)设数列{bn}满足bn=log3an，若cn=anbn，求数列{cn}的前n项和. 破题切入点 (1)利用an=Sn-Sn-1求出an与an-1之间的关系，进而用定义证明数列{an}为等比数列. (2)由(1)的结论得出数列{bn}的通项公式，求出cn的表达式，再利用错位相减法求和. (1)证明 由题意得an=Sn-Sn-1=32(an-an-1)(n≥2)， ∴an=3an-1，∴anan-1=3(n≥2)， 又S1=32(a1-1)=a1，解得a1=3， ∴数列{an}是首项为3,考试技巧，公比为3的等比数列. (2)解 由(1)得an=3n，则bn=log3an=log33n=n， ∴cn=anbn=n3n， 设Tn=131+232+333+…+(n-1)3n-1+n3n， 3Tn=132+233+334+…+(n-1)3n+n3n+1. ∴-2Tn=31+32+33+…+3n-n3n+1 =3(1-3n)1-3-n3n+1， ∴Tn=(2n-1)3n+1+34. 总结提高 (1)关于等差、等比数列的基本量的运算，一般是已知数列类型，根据条件，设出a1，an，Sn，n，d(q)五个量的三个，知三求二，完全破解. (2)等差数列和等比数列有很多相似的性质，可以通过类比去发现、挖掘. (3)等差、等比数列的判断一般是利用定义，在证明等比数列时注意证明首项a1≠0，利用等比数列求和时注意公比q是否为1. 1.已知{an}为等差数列，其公差为-2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为() A.-110B.-90 C.90D.110 答案 D 解析 ∵a3=a1+2d=a1-4，a7=a1+6d=a1-12，a9=a1+8d=a1-16， 又∵a7是a3与a9的等比中项， ∴(a1-12)2=(a1-4)(a1-16)， 解得a1=20. ∴S10=10×20+12×10×9×(-2)=110. 2.(2023课标全国Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于() A.n(n+1) B.n(n-1) C.n(n+1)2D.n(n-1)2 答案 A 解析 由a2，a4，a8成等比数列，得a24=a2a8， 即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14)， ∴a1=2. ∴Sn=2n+n(n-1)2×2 =2n+n2-n=n(n+1). 3.等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4=S5+S6，则数列{an}的公比q的值为() A.-2或1B.-1或2 C.-2D.1 答案 C 解析 方法一 若q=1， 则S4=4a1，S5=5a1，S6=6a1， 显然不满足2S4=S5+S6， 故A、D错. 若q=-1，则S4=S6=0，S5=a5≠0， 不满足条件，故B错，因此选C. 方法二 经检验q=1不适合， 则由2S4=S5+S6， 得2(1-q4)=1-q5+1-q6，化简得 q2+q-2=0，解得q=1(舍去)，q=-2. 4.(2023大纲全国)等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于() A.6B.5C.4D.3 答案 C 解析 数列{lgan}的前8项和S8=lga1+lga2+…+lga8 =lg(a1a2…a8)=lg(a1a8)4 =lg(a4a5)4=lg(2×5)4=4. 5.(2023大纲全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6等于() A.31B.32C.63D.64 答案 C 解析 在等比数列{an}中，S2、S4-S2、S6-S4也成等比数列， 故(S4-S2)2=S2(S6-S4)， 则(15-3)2=3(S6-15)， 解得S6=63. 6.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBn=7n+45n+3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是() A.2B.3C.4D.5 答案 D 解析 由等差数列的前n项和及等差中项， 可得anbn=12(a1+a2n-1)12(b1+b2n-1) =12(2n-1)(a1+a2n-1)12(2n-1)(b1+b2n-1)=A2n-1B2n-1 =7(2n-1)+45(2n-1)+3=14n+382n+2 =7n+19n+1=7+12n+1 (n∈N*)， 故n=1,2,3,5,11时，anbn为整数. 即正整数n的个数是5. 7.(2023课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn=23an+13，则{an}的通项公式是an=________. 答案 (-2)n-1 解析 当n=1时，a1=1; 当n≥2时， an=Sn-Sn-1=23an-23an-1， 故anan-1=-2，故an=(-2)n-1. 8.(2023江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是________. 答案 4 解析 因为a8=a2q6，a6=a2q4，a4=a2q2，所以由a8=a6+2a4得a2q6=a2q4+2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2-q2-2=0，解得q2=2，a6=a2q4=1×22=4. 9.(2023安徽)数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=________. 答案 1 解析 设等差数列的公差为d， 则a3=a1+2d，a5=a1+4d， ∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5)，解得d=-1， ∴q=a3+3a1+1=a1-2+3a1+1=1. 10.在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有an+2-an+1an+1-an=k(k为常数)，则称数列{an}为等差比数列，k称为公差比.现给出下列问题： ①等差比数列的公差比一定不为零; ②等差数列一定是等差比数列; ③若an=-3n+2，则数列{an}是等差比数列; ④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比. 其中正确命题的序号为________. 答案 ①③④ 解析 若k=0，{an}为常数列，分母无意义，①正确;公差为零的等差数列不是等差比数列，②错误;an+2-an+1an+1-an=3，满足定义，③正确;设an=a1qn-1(q≠0)，则an+2-an+1an+1-an=a1qn+1-a1qna1qn-a1qn-1=q，④正确. 11.(2023课标全国Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{an2n}的前n项和. 解 (1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3， 由题意得a2=2，a4=3. 设数列{an}的公差为d，则a4-a2=2d， 故d=12，从而a1=32. 所以{an}的通项公式为an=12n+1. (2)设{an2n}的前n项和为Sn. 由(1)知an2n=n+22n+1，则 Sn=322+423+…+n+12n+n+22n+1， 12Sn=323+424+…+n+12n+1+n+22n+2. 两式相减得 12Sn=34+(123+…+12n+1)-n+22n+2 =34+14(1-12n-1)-n+22n+2. 所以Sn=2-n+42n+1. 12.(2023北京)已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前n项和. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得 d=a4-a13=12-33=3， 所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2，…). 设等比数列{bn-an}的公比为q，由题意得 q3=b4-a4b1-a1=20-124-3=8，解得q=2. 所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1. 从而bn=3n+2n-1(n=1,2，…). (2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2，…). 数列{3n}的前n项和为32n(n+1)， 数列{2n-1}的前n项和为1-2n1-2=2n-1. 所以，数列{bn}的前n项和为32n(n+1)+2n-1. | 
