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三、曲线和方程 1．定义 在选定的直角坐标系下，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解(一点不杂)； (2)以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点(一点不漏)． 这时称方程f(x，y)=0为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)． 设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x，y)|f(x，y)=0}，若设点M的坐标为(x0，y0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为： 以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)： 为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)． 2．曲线方程的两个基本问题 (1)由曲线(图形)求方程的步骤： ①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； ②立式：写出适合条件p的点M的集合p={M|p(M)}； ③代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)=0； ④化简：化方程f(x，y)=0为最简形式； ⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程． (2)由方程画曲线(图形)的步骤： ①讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)； ②求截距： ③讨论曲线的范围； ④列表、描点、画线． 3．交点 求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组． 4．曲线系方程 过两曲线f1(x，y)=0和f2(x，y)=0的交点的曲线系方程是f1(x，y)＋λf2(x，y)=0(λ∈R)． | 
