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1.3.2 奇偶性 第二课时 优化训练 1．若函数f(x)＝x3(xR)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是() A．单调递减的偶函数 B．单调递减的奇函数 C．单调递增的偶函数 D．单调递增的奇函数 解析：选B.f(－x)＝－x3为奇函数， x1＜x2，－x1＞－x2. f(－x1)－f(－x2)＝－x31－(－x32)＝x32－x31＞0， f(－x1)＞f(－x2)，f(－x)为减函数． 2．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋)上是增函数，若f(a)f(b)，则一定可得() A．a B．ab C．|a||b| D．0b或a0 解析：选C.对于定义域为R的偶函数，若x0，则f(|x|)＝f(x)；若x0，则f(|x|)＝f(－x)＝f(x)．所以，定义域为R的偶函数f(x)对于任意xR，有f(|x|)＝f(x)．于是由f(a)f(b)，可得f(|a|)f(|b|)．而|a|0，再由f(x)在[0，＋)上是增函数可得|a||b|，故选C. 3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是() A．y＝x(x－2) B．y＝x(|x|＋2) C．y＝|x|(x－2) D．y＝x(|x|－2) 解析：选D.由x0时，f(x)＝x2－2x，f(x)是定义在R上的奇函数得：当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)． f(x)＝xx－2x0，x－x－2x＜0，即f(x)＝x(|x|－2)． 4．函数f(x)＝x3＋ax，f(1)＝3，则f(－1)＝________. 解析：显然f(x)是奇函数，f(－1)＝－f(1)＝－3. 答案：－3 1．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)的值等于() A．－2 B．－4 C．－6 D．－10 解析：选D.令F(x)＝f(x)＋4＝ax3＋bx，显然F(x)＝ax3＋bx为奇函数，F(－2)＝f(－2)＋4＝6，F(2)＝f(2)＋4＝－6，f(2)＝－10. 2．若f(x)是偶函数，其定义域为(－，＋)，且在[0，＋)上是减函数，则f(－32)与f(a2＋2a＋52)的大小关系是() A．f(－32)＞f(a2＋2a＋52) B．f(－32)＜f(a2＋2a＋52) C．f(－32)f(a2＋2a＋52) D．f(－32)f(a2＋2a＋52) 解析：选C.a2＋2a＋52＝(a＋1)2＋2023，f(－32)＝f(32)f(a2＋2a＋52)． 3．若(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝a(x)＋bg(x)＋2在(0，＋)上有最大值5，则f(x)在(－，0)上有() A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3 解析：选C.(x)、g(x)都是奇函数， f(x)－2＝a(x)＋bg(x)为奇函数． 又f(x)有最大值5，f(x)－2在(0，＋)上有最大值3. f(x)－2在(－，0)上有最小值－3， f(x)在(－，0)上有最小值－1. 4．若函数f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，则() A．f(3)＋f(4)＞0 B．f(－3)－f(－2)＜0 C．f(－2)＋f(－5)＜5 D．f(4)－f(－1)＞0 解析：选D.f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，可得f(x)在[0,6]上单调递增，依题意有：－4＜－1f(－4)＞f(－1)f(4)－f(－1)＞0. 5．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝x2＋|x|－1，那么x＜0时，f(x)的解析式为f(x)＝() A．x2－|x|＋1 B．－x2＋|x|＋1 C．－x2－|x|－1 D．－x2－|x|＋1 解析：选D.设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝x2＋|x|－1， ∵f(－x)＝－f(x)，－f(x)＝x2＋|x|－1，f(x)＝－x2－|x|＋1. 6．(2023年高考陕西卷)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2[0，＋)(x1x2)，有fx2－fx1x2－x10，则() A．f(3)f(－2)f(1) B．f(1)f(－2)f(3) C．f(－2)f(3) D．f(3)f(－2) 解析：选A.由已知fx2－fx1x2－x10，得f(x)在x[0，＋)上单调递减，由偶函数性质得f(3)f(－2)f(1)，故选A. 7．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________． 解析：利用函数f(x)是偶函数，则k－1＝0，k＝1，f(x)＝－x2＋3即可得出单调区间． 答案：[0，＋) 8．若f(x)是偶函数，当x[0，＋)时f(x)＝x－1，则f(x－1)＜0的解集是________． 解析： 偶函数的图象关于y轴对称，先作出f(x)的图象，如图所示，由图可知f(x)＜0的解集为{x|－1＜x＜1}， f(x－1)＜0的解集为{x|0＜x＜2}． 答案：{x|0＜x＜2} 9．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)＋f(b)＞0，则a＋b________0(填“＞”、“＜”或“＝”)． 解析：f(a)＋f(b)＞0，f(a)＞－f(b)， f(a)＞f(－b)，f(x)为减函数， a＜－b，a＋b＜0. 答案：＜ 10．已知函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(12)＝25，求函数f(x)的解析式． 解：∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数． f(0)＝0，即b1＋02＝0，b＝0， 又f(12)＝12a1＋14＝25，a＝1， f(x)＝x1＋x2. 11．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围． 解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－，0)上递增， 可知f(x)在(0，＋)上递减． ∵2a2＋a＋1＝2(a＋14)2＋78＞0， 2a2－2a＋3＝2(a－12)2＋52＞0， 且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)， 2a2＋a＋1＞2a2－2a＋3， 即3a－2＞0，解得a＞23. 12．已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)＋g(x)＝1x－1，求f(x)，g(x)． 解：由f(x)＋g(x)＝1x－1.① 把x换成－x，得 f(－x)＋g(－x)＝1－x－1， ∵f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)． 又∵g(x)为奇函数， g(－x)＝－g(x)， f(x)－g(x)＝－1x＋1.② 由①②得f(x)＝1x2－1，g(x)＝xx2－1. | 
