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2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式 优化训练 1．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则x＋y等于() A．5 B．－1 C．1 D．－5 解析：选D.由题意知，x＝－3，y＝－2，则x＋y＝－5. 2．若x轴上的点M到原点及点(5，－3)的距离相等，则M点的坐标是() A．(－2,0) B．(1,0) C．(1.5,0) D．(3.4,0) 答案：D 3．若A(a，－ab)，B(b，ab)，则d(A，B)等于() A．|a－b| B．|a＋b| C．|a＋b| D．|a－b| 答案：B 4．设点P在x轴上，点Q在y轴上，线段PQ的中点是M(－1,2)，则d(P，Q)＝________. 答案：25 5．已知点P到x轴和点A(－4,2)的距离都是10，则点P的坐标为________． 解析：设P(x，y)，由距离公式，得 |y|＝10x＋42＋y－22＝10，解得x＝2，y＝10， P(2,10)． 答案：(2,10) 1．点A(2a,1)与点B(2，a)之间的距离为() A.5(a－1) B.5(1－a) C.5|a－1| D．5(a－1)2 解析：选C.d(A，B)＝2a－22＋1－a2＝5|a－1|. 2．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是() A．4 B.13 C.15 D.17 解析：选D. 由题意知1＝x－22y＝5－32x＝4y＝1，d＝42＋12＝17. 3．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(8，－4)和重心G(2，－1)，则顶点C的坐标是() A．(4，－3) B．(1,4) C．(－4，－2) D．(－2，－2) 解析：选C.设C(x，y)，则2＋8＋x3＝2，x＝－4. 3＋－4＋y3＝－1，y＝－2，故选C. 4．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若AB＝60 km，AE＝CD＝30 km，为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点的距离平方和最小，图中P1、P2、P3、P4是AC的五等分点，则转播台应建在() A．P1处 B．P2处 C．P3处 D．P4处 解析：选A.以AB为x轴，AE为y轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(60,0)，C(30,30)，D(30,60)，E(0,30)，设点P(x，y)，则f(x，y)＝|AP|2＋|BP|2＋|CP|2＋|DP|2＋|EP|2＝x2＋y2＋(x－60)2＋y2＋(x－30)2＋(y－30)2＋(x－30)2＋(y－60)2＋x2＋(y－30)2＝5x2＋5y2－240x－240y＋20230＝5(x－24)2＋5(y－24)2＋2023. 当x＝y＝24时，f(x，y)有最小值，此时点P为(24,24)与点P1重合． 5．若平行四边形的三个顶点为(3，－2)，(5,2)，(－1,4)，则第四个顶点不可能是() A．(9，－4) B．(1,8) C．(－3,0) D．(1，－3) 解析：选D.设第四个顶点为(x，y)，然后分三种情况讨论．若(3，－2)，(5,2)是一条对角线的两端点，则有3＋52＝－1＋x2，－2＋22＝4＋y2，x＝9，y＝－4，即第四个顶点为(9，－4)；若(5,2)，(－1,4)为一条对角线的两端点，则第四个顶点为(1,8)；若(3，－2)，(－1,4)为一条对角线的两端点，则第四个顶点为(－3,0)． 6．点A(2,0)，B(4,2)，若|AB|＝2|AC|，则C点坐标为() A．(－1,1) B．(－1,1)或(5，－1) C．(－1,1)或(1,3) D．无数多个 解析：选D.设C(x，y)，则4－22＋2－02 ＝2x－22＋y－02， 即(x－2)2＋y2＝2.存在无数多个C点． 7．点A(－1,2)关于原点的对称点到点(3，m)的距离是25，则m的值是________． 解析：点(－1,2)关于原点的对称点为(1，－2)， 1－32＋－2－m2＝25，解得m＝2或－6. 答案：2或－6 8．已知△ABC的三个顶点的坐标为A(3，2)、B(0,1)、C(0,3)，则此三角形的形状是________． 解析：∵|AB|＝3－02＋2－12＝2， |AC|＝3－02＋2－32＝2， |BC|＝0－02＋1－32＝2， |AB|＝|AC|＝|BC|. △ABC为等边三角形． 答案：等边三角形 9．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取得最小值时，实数a的值是________． 解析：|AB|2＝(5－a－1)2＋(2a－1－a＋4)2 ＝2a2－2a＋25 ＝2(a－12)2＋492 a＝12时，|AB|最小． 答案：12 10．求函数f(x)＝x2－12x＋37＋x2－4x＋13的最小值． 解：∵x2－12x＋37＝x－62＋1， x2－4x＋13＝x－22＋9， 可设A(6,1)、B(2,3)、P(x,0)，则 f(x)＝|PA|＋|PB|. 要求f(x)的最小值，只需在x轴上找一点P，使|PA|＋|PB|最小． 设B关于x轴的对称点为B， B(2，－3)(如图所示)． |PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB|AB|， |AB|＝2－62＋－3－12＝42， 当B、P、A三点共线时取等号， 即|PA|＋|PB|最小值为42， 也就是f(x)的最小值为42. 11．已知两点A(2,2)和B(5，－2)，试问在坐标轴上能否找到一点P，使APB为直角？ 解：假设在x轴上能找到一点P(x,0)，使APB＝90. 由勾股定理，知|PA|2＋|PB|2＝|AB|2，所以(x－2)2＋22＋(x－5)2＋(－2)2＝(5－2)2＋(－2－2)2. 化简，得x2－7x＋6＝0.解得x＝1或x＝6. 所以在x轴上存在点P(1,0)或P(6,0)，使得APB为直角． 假设在y轴上能找到一点P(0，y)，使APB＝90. 同理，由勾股定理得：(0－2)2＋(y－2)2＋(0－5)2＋(y＋2)2＝(5－2)2＋(－2－2)2， 化简，得y2＋6＝0，此方程无实数解． 所以在y轴上不存在点P，使APB是直角． 综上所述，存在两点，P的坐标为(1,0)或(6,0)，使得APB为直角． 12．证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和． 证明：如图，以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立直角坐标系，则有A(0,0)．设B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为C(a＋b，c)． 因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2， |AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2， |AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(a－b)2＋c2， 所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)， 而|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)， 所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2. 因此平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和． | 
