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2.3.2等比数列的前n项和第二课时 优化训练 1．各项均为实数的等比数列{an}的前n项和记作Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40等于() A．150 B．－200 C．150或－200 D．400或－50 解析：选A.根据等比数列前n项和的性质可知，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，且公比为q10，利用等比数列的性质可得(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，所以S220－10S20－600＝0，解得S20＝－20或S20＝30.因为S20＝S10(1＋q10)＞0，所以S20＝30.再次利用等比数列的性质可得(S30－S20)2＝(S20－S10)(S40－S30)，求得S40＝150. 2．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t5n－2－15，则实数t的值为() A．4 B．5 C.45 D.15 解析：选B.由Sn＝t255n－15得t25＝15， t＝5. 3．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(nN)，则f(n)等于() A.27(8n－1) B.27(8n＋1－1) C.27(8n＋3－1) D.27(8n＋4－1) 解析：选B.依题意，f(n)是首项为2，公比为8的前n＋1项求和，根据等比数列的求和公式可得． 4．(2023年高考全国卷Ⅱ)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________. 解析：由题意知{an}的公比q不为1， 又由S6＝4S3得a11－q61－q＝4a11－q31－q，解得q3＝3， a4＝a1q3＝13＝3. 答案：3 5．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13. (1)求{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Sn. 解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q， 则依题意有q＞0且1＋2d＋q4＝21，1＋4d＋q2＝13. 解得d＝2，q＝2， 所以an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1. (2)anbn＝2n－12n－1. Sn＝1＋32＋522＋…＋2n－32n－2＋2n－12n－1，① 2Sn＝2＋3＋52＋…＋2n－32n－3＋2n－12n－2.② ②－①，得Sn＝2＋2＋22＋222＋…＋22n－2－2n－12n－1 ＝2＋2(1＋12＋122＋…＋12n－2)－2n－12n－1 ＝2＋21－12n－11－12－2n－12n－1＝6－2n＋32n－1. 1．(2023年永安高二检测)已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于() A．50 B．70 C．80 D．90 解析：选B.由a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)得q3＝12， a7＋a8＋a9＝q3(a4＋a5＋a6)＝10， 前9项之和等于40＋20＋10＝70. 2．已知数列{an}为等比数列，若a8a4＝2，S4＝4，则S8等于() A．12 B．24 C．16 D．32 解析：选A.由题意知q4＝2， S8＝S4＋q4S4＝S4＋2S4＝3S4＝12. 3．某人为了观看2023年奥运会，从2023年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2023年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为() A．a(1＋p)7 B．a(1＋p)8 C.ap[(1＋p)7－(1＋p)] D.ap[(1＋p)8－(1＋p)] 解析：选D.2023年存入的a元到2023年所得的本息和为a(1＋p)7，2023年存入的a元到2023年所得的本息和为a(1＋p)6，依此类推，则2023年存入的a元到2023年的本息和为a(1＋p)，每年所得的本息和构成一个以a(1＋p)为首项，1＋p为公比的等比数列，则到2023年取回的总额为a(1＋p)＋a(1＋p)2＋…＋a(1＋p)7＝a1＋p[1－1＋p7]1－1＋p＝ap[(1＋p)8－(1＋p)]． 4．设数列{an}是公比为a(a1)，首项为b的等比数列，Sn是前n项和，则点(Sn，Sn＋1)() A．在直线y＝ax－b上 B．在直线y＝bx＋a上 C．在直线y＝bx－a上 D．在直线y＝ax＋b上 解析：选D.由题意可得，Sn＝b1－an1－a，Sn＋1＝b1－an＋11－a＝ab1－an1－a＋b＝aSn＋b，点(Sn，Sn＋1)在直线y＝ax＋b上． 5．等比数列{an}是递减数列，其前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于() A．2 B．4 C．2 D．4 解析：选C.a8a15＝a10a13＝a11a12＝2，由{an}为递减数列，舍去－2. 6．西部某厂在国家积极财政政策的推动下，从2023年1月起，到2023年12月止的36个月中，月产值不断递增且构成等比数列{an}，若逐月累计的产值Sn＝a1＋a2＋…＋an满足Sn＝101an－36，则该厂的年产值的递增率为(精确到万分位)() A．12.66% B．12.68% C．12.69% D．12.70% 答案：B 7．已知等比数列前n项和为Sn，S10S5＝2023，则数列的公比为________． 解析：设该数列的公比为q，显然q1. 由S10S5＝2023＝a11－q101－qa11－q51－q＝1＋q5. 解得q＝－12. 答案：－12 8．等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________. 解析：由题意S2n＝－240，S奇－S偶＝80， 得S奇＝－80，S偶＝－160，所以q＝S偶S奇＝2. 答案：2 9．数列{an}中，an＝2n－1n为正奇数，2n－1n为正偶数.设数列{an}的前n项和为Sn，则S9＝________. 解析：S9＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8) ＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15) ＝377. 答案：377 10．数列{an}的前n项和记为Sn，已知an＝5Sn－3(nN＋)，求数列{an}的通项公式． 解：an＝5Sn－3， ① a1＝5S1－3＝5a1－3， a1＝34. n2时，an－1＝5Sn－1－3 ② ①②两式相减an－an－1＝5an， an＝－14an－1故{an}为首项为34，公比为－14的等比数列， an＝34－14n－1. 11．(2023年高考浙江卷)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，nN＋，其中k是常数． (1)求a1及an； (2)若对于任意的mN＋，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值． 解：(1)当n＝1，a1＝S1＝k＋1， n2，an＝Sn－Sn－1＝kn2＋n－[k(n－1)2＋(n－1)]＝2kn－k＋1，(*) 经验证，n＝1时(*)式成立， an＝2kn－k＋1. (2)∵am，a2m，a4m成等比数列， a22m＝ama4m， 即(4km－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)， 整理得，mk(k－1)＝0， 对任意的mN＋成立，k＝0或k＝1. 12．某家用电器一件现价2023元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.202321.1) 解：设每期应付款x元，则第1期付款到最后一次付款时的本息和为x(1＋0.008)11，第2期付款到最后一次付款时的本息和为x(1＋0.008)10，…，第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝1.20232－11.008－1x. 又所购电器的现价及其利息之和为20231.20232， 于是有1.20232－11.008－1x＝20231.20232. 解得x＝161.202321.20232－2023(元)． 所以每期应付款176元． | 
