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第三章三角恒等变形 (时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．sin 15cos 75＋cos 15sin 75等于() A．0 B.12 C.32 D．1 【解析】sin 15cos 75＋cos 15sin 75 ＝sin(15＋75)＝sin 90＝1. 【答案】D 2．在锐角△ABC中，设x＝sin Asin B，y＝cos Acos B，则x、y的大小关系为() A．xy B．x＞y C．x＜y D．xy 【解析】y－x＝cos(A＋B)＝cos(－C)＝－cos C， ∵C为锐角，－cos C＜0， y－x＜0，即x＞y. 【答案】B 3．若sin ＋cos ＝tan (02)，则的取值范围是() A．(0，6) B．(4) C．(3) D．(2) 【解析】因为sin ＋cos ＝2sin(＋4)，当02时，此式的取值范围是(1，2]，而tan 在(0，4)上小于1，故可排除A，B；在(2)上sin ＋cos 与tan 不可能相等，所以D不正确，故选C. 【答案】C 4．在△ABC中，若sin C＝2cos Asin B，则此三角形必是() A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解析】sin C＝sin[－(A＋B)]＝sin(A＋B)， sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B. sin(A－B)＝0，A＝B， △ABC为等腰三角形． 【答案】A 5．(2023陕西高考)设向量a＝(1，cos )与b＝(－1，2cos )垂直，则cos 2等于() A.22 B.12 C．0 D．－1 【解析】a＝(1，cos )，b＝(－1,2cos )． ∵ab，ab＝－1＋2cos2＝0， cos2＝12，cos 2＝2cos2－1＝1－1＝0. 【答案】C 6．当02时，函数f(x)＝1＋cos 2x＋8sin2xsin 2x的最小值为() A．2 B．23 C．4 D．43 【解析】f(x)＝1＋cos 2x＋8sin2xsin 2x＝2cos2x＋8sin2x2sin xcos x＝cot x＋4tan x24＝4.当且仅当cot x＝4tan x，即tan x＝12时取得等号．故选C. 【答案】C 7．(2023江西高考)若sin 2＝33，则cos ＝() A．－23 B．－13 C.13 D.23 【解析】cos ＝1－2sin22＝1－2023＝1－23＝13. 【答案】C 8．(2023重庆高考)4cos 50－tan 40＝() A.2 B.2＋32 C.3 D．22－1 【解析】4cos 50－tan 40＝4sin 40－sin 40cos 40 ＝4sin 40cos 40－sin 40cos 40＝2sin 80－sin 40cos 40 ＝sin 80＋sin60＋20－sin60－20cos 40 ＝sin 80＋2cos 60sin 20cos 40＝sin 80＋sin 20cos 40 ＝sin50＋30＋sin50－30cos 40 ＝2sin 50cos 30cos 40＝3cos 40cos 40＝3. 【答案】C 9．已知f(x)＝sin2(x＋4)，若a＝f(lg 5)，b＝f(lg 15)，则() A．a＋b＝0 B．a－b＝0 C．a＋b＝1 D．a－b＝1 【解析】由题意知f(x)＝sin2(x＋4)＝1－cos2x＋22＝1＋sin 2x2， 令g(x)＝12sin 2x，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋12，a＝f(lg 5)＝g(lg 5)＋12，b＝f(lg 15)＝g(lg 15)＋12，则a＋b＝g(lg 5)＋g(lg 15)＋1＝g(lg 5)＋g(－lg 5)＋1＝1，故a＋b＝1. 【答案】C 10．对于函数f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是() A．f(x)在(2)上是递增的 B．f(x)的图像关于原点对称 C．f(x)的最小正周期为2 D．f(x)的最大值为2 【解析】f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x， f(x)为奇函数，f(x)图像关于原点对称． 【答案】B 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上) 11．(2023江西高考)若sin ＋cos sin －cos ＝12，则tan 2＝________. 【解析】由sin ＋cos sin －cos ＝12，等式左边分子、分母同除cos 得，tan ＋1tan －1＝12，解得tan ＝－3，则tan 2＝2tan 1－tan2＝34. 【答案】34 12．知，(0，4)，tan 21－tan22＝14，且3sin ＝sin(2＋)，则＋＝________. 【解析】由tan 21－tan22＝14，得tan ＝12.由3sin ＝sin(2＋)，得3sin[(＋)－]＝sin[(＋)＋]，化简得tan(＋)＝2tan ＝1.由于，(0，4)，故＋(0，2)，所以＋＝4. 【答案】4 13．若是第二象限角，cos 2－sin 2＝1－sin ，则角2所在的象限是________． 【解析】∵1－sin ＝ sin 2－cos 22 ＝|sin 2－cos 2|＝cos 2－sin 2， sin cos 2. ∵是第二象限角， 2＋2k＋2k，kZ. 则4＋k2＋kZ. 由上可得54＋2k32＋2k，kZ.所以2是第三象限角． 【答案】第三象限角 14．函数f(x)＝sin2(2x－4)的最小正周期是________． 【解析】f(x)＝1－cos22x－42 ＝1－cos4x－22＝1－sin 4x2， 最小正周期T＝22. 【答案】2 15．(2023江苏高考)设为锐角，若cos(＋6)＝45，则sin(2＋12)的值为________． 【解析】∵为锐角且cos(＋6)＝45， sin(＋6)＝35. sin(2＋12)＝sin[2(＋6)－4] ＝sin 2(＋6)cos 4－cos 2(＋6)sin 4 ＝2sin(＋6)cos(＋6)－22[2cos2(＋6)－1] ＝20235－22[2(45)2－1]＝20235－2023＝20230. 【答案】20230 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2023辽宁高考)设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x0，2. (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)设函数f(x)＝ab，求f(x)的最大值． 【解】(1)由|a|2＝(3sin x)2＋sin2 x＝4sin2x， |b|2＝cos2x＋sin2x＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x0，2，从而sin x＝12， 所以x＝6. (2)f(x)＝ab＝3sin xcos x＋sin2x ＝32sin 2x－12cos 2x＋12＝sin2x－6＋12， 当x＝0，2时，sin2x－6取最大值1. 所以f(x)的最大值为32. 17．(本小题满分12分)若2sin(4＋)＝sin ＋cos ，2sin2＝sin 2，求证：sin 2＋12cos 2＝0. 【证明】由2sin(4＋)＝sin ＋cos 得2cos ＋2sin ＝sin ＋cos ，两边平方得 2(1＋sin 2)＝1＋sin 2，即 sin 2＝12(sin 2－1)， ① 由2sin2＝sin 2得，1－cos 2＝sin 2. ② 将②代入①得 sin 2＝12[(1－cos 2)－1]得 sin 2＝－12cos 2， 即sin 2＋12cos 2＝0. 18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cos xsinx＋4(＞0)的最小正周期为. (1)求的值； (2)讨论f(x)在区间0，2上的单调性． 【解】(1)f(x)＝4cos xsinx＋4 ＝22sin xcos x＋22cos2x ＝2(sin 2x＋cos 2x)＋2＝2sin2x＋4＋2. 因为f(x)的最小正周期为，且＞0， 从而有2＝，故＝1. (2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋4)＋2. 若02，则2x＋54. 当2x＋2，即08时，f(x)单调递增； 当2＜2x＋54，即8＜x2时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在区间0，8上单调递增，在区间2上单调递减． 19．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝sin(x＋6)＋sin(x－6)－2cos2x2，xR(其中0)． (1)求函数f(x)的值域； (2)若对任意的aR，函数y＝f(x)，x(a，a＋]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)，xR的单调增区间． 【解】(1)f(x)＝sin(x＋6)＋sin(x－6)－2cos2x2＝2sin xcos 6－cos x－1 ＝2sin(x－6)－1， ∵xR，f(x)的值域为[－3,1]． (2)由题意得函数f(x)的周期为. 2＝，＝2， f(x)＝2sin(2x－6)－1. 令2k22x－2k2，kZ. 得k6k3，kZ. 函数f(x)的单调增区间为[k6，k3]，kZ. 图1 20．(本小题满分13分)如图1，以Ox为始边作角与)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(－35，45)． (1)求sin 2＋cos 2＋11＋tan 的值； (2)若OPOQ＝0，求sin(＋)． 【解】(1)由三角函数定义得cos ＝－35，sin ＝45， 则原式＝2sin cos ＋2cos21＋sin cos ＝2cos sin ＋cos sin ＋cos cos ＝2cos2＝2(－35)2＝2023. (2)∵OPOQ＝0，－＝2. ＝－2. sin ＝sin(－2)＝－cos ＝35， cos ＝cos(－2)＝sin ＝45. sin(＋)＝sin cos ＋cos sin ＝2023＋(－35)35＝725. 21．(本小题满分13分)(2023湖北高考)设函数f(x)＝sin2x＋23sin xcos x－cos2x＋(xR)的图像关于直线x＝对称，其中，为常数，且(12，1)． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若y＝f(x)的图像经过点(4，0)，求函数f(x)的值域． 【解】(1)因为f(x)＝sin2x－cos2x＋23sin xcos x＋＝－cos 2x＋3sin 2x＋＝2sin(2x－6)＋， 由直线x＝是y＝f(x)图像的一条对称轴，可得sin(2－6)＝1， 所以2－6＝k2(kZ)，即＝k2＋13(kZ)． 又(12，1)，kZ，所以k＝1，故＝56. 所以函数f(x)的最小正周期是65. (2)由y＝f(x)的图像过点(4，0)，得f(4)＝0， 即＝－2sin(562－6)＝－2sin 4＝－2，即＝－2. 故f(x)＝2sin(53x－6)－2，函数f(x)的值域为[－2－2，2－2]． | 
