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第二章平面向量 (时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若向量a，b，c满足a∥b，且ac，则c(a＋2b)＝() A．4 B．3 C．2 D．0 【解析】∵ac，ac＝0.又∵a∥b，可设b＝a，则c(a＋2b)＝c(1＋2)a＝0. 【答案】D 2．已知向量a＝(1,0)与向量b＝(－1，3)，则向量a与b的夹角是() A. B. C.2 D.56 【解析】cos〈a，b〉＝ab|a||b|＝－112＝－12. 〈a，b〉＝23. 【答案】C 3．已知a＝(1,2)，b＝(x,1)，＝a＋b，＝a－b，且∥，则x的值为() A.12 B．－12 C.16 D．－16 【解析】∵＝(1＋x,3)，＝(1－x,1)，∥. (1＋x)1－3(1－x)＝0，x＝12. 【答案】A 4．已知|a|＝2|b|，|b|0，且关于x的方程x2＋|a|x＋ab＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是() A．[0，6] B．[] C．[3，23] D．[] 【解析】＝|a|2－4ab＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＝4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉0. cos〈a，b〉12，〈a，b〉[0，]． 3〈a，b〉. 【答案】B 5．已知|a|＝1，|b|＝6，a(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是() A. B. C. D.2 【解析】∵a(b－a)＝ab－a2＝2，|a||b|cos －|a|2＝2， 16cos －1＝2，cos ＝12，又0，＝3，故选C. 【答案】C 6．已知OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上一点P使APBP有最小值，则P点的坐标是() A．(－3,0) B．(3,0) C．(2,0) D．(4,0) 【解析】设P(x,0)，AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)，APBP＝(x－2)(x－4)＋2 ＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， 当x＝3时，APBP取最小值，此时P(3,0)． 【答案】B 7．若a，b是非零向量，且ab，|a||b|，则函数f(x)＝(xa＋b)(xb－a)是() A．一次函数且是奇函数 B．一次函数但不是奇函数 C．二次函数且是偶函数 D．二次函数但不是偶函数 【解析】∵ab，ab＝0， f(x)＝(xa＋b)(xb－a)＝x2(ab)＋(|b|2－|a|2)x－ab＝(|b|2－|a|2)x，又|a||b|，f(x)是一次函数且为奇函数，故选A. 【答案】A 8．已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|＋AC|AC|)BC＝0且AB|AB|AC|AC|＝12，则△ABC为() A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形 【解析】AB|AB|和|AC||AC|分别是与AB，AC同向的两个单位向量． AB|AB|＋AC|AC|是BAC角平分线上的一个向量，由(AB|AB|＋AC|AC|)BC＝0知该向量与边BC垂直，△ABC是等腰三角形．由ABAC|AB||AC|＝12知BAC＝60.△ABC是等边三角形． 【答案】A 9．(2023湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为() A.322 B.2023 C．－322 D．－2023 【解析】由已知得AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，因此AB在CD方向上的投影为ABCD|CD|＝2023＝322. 【答案】A 10．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2＝() A．2 B．4 C．5 D．10 【解析】∵PA＝CA－CP， |PA|2＝CA2－2CPCA＋CP2. ∵PB＝CB－CP，|PB|2＝CB2－2CPCB＋CP2. |PA|2＋|PB|2＝(CA2＋CB2)－2CP(CA＋CB)＋2CP2＝AB2－2CP2CD＋2CP2. 又AB2＝16CP2，CD＝2CP，代入上式整理得|PA|2＋|PB|2＝10|CP|2，故所求值为10. 【答案】D 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上) 11．已知向量a＝(2,1)，ab＝10，|a＋b|＝5 2，则|b|等于________． 【解析】∵|a＋b|＝5 2，(a＋b)2＝50，即a2＋b2＋2ab＝50， 又|a|＝5，ab＝10， 5＋|b|2＋210＝50. 解得|b|＝5. 【答案】5 12．已知a＝(3,1)，b＝(sin ，cos )，且a∥b.则4sin －2cos 5cos ＋3sin ＝________. 【解析】∵a∥b，3cos ＝sin ， tan ＝3. 4sin －2cos 5cos ＋3sin ＝4tan －25＋3tan ＝43－25＋33＝57. 【答案】57 13．(2023课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD＝________. 【解析】如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)， AE＝(1,2)，BD＝(－2,2)， AEBD＝1(－2)＋22＝2. 【答案】2 14．已知e1，e2是夹角为23的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若ab＝0，则实数k的值为________． 【解析】由题意ab＝0，即有(e1－2e2)(ke1＋e2)＝0 ke21＋(1－2k)e1e2－2e22＝0. 又∵|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝23， k－2＋(1－2k)cos 23＝0， k－2＝1－2k2，k＝54. 【答案】54 15．(2023安徽高考)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)b，则|a|＝________. 【解析】a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)． ∵(a＋c)b， (a＋c)b＝(3,3m)(m＋1,1)＝6m＋3＝0， ∵m＝－12， a＝(1，－1)，|a|＝12＋－12＝2. 【答案】2 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2023江苏高考)已知a＝(cos ，sin )，b＝(cos ，sin )，0＜＜＜. (1)若|a－b|＝2，求证：ab； (2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求，的值． 【解】(1)证明由题意得|a－b|2＝2， 即(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝2. 又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以2－2ab＝2，即ab＝0，故ab. (2)因为a＋b＝(cos ＋cos ，sin ＋sin )＝(0,1)， 所以cos ＋cos ＝0，sin ＋sin ＝1， 由此得，cos ＝cos(－)，由0＜＜，得0＜－＜. 又0＜＜，故＝－.代入sin ＋sin ＝1，得sin ＝sin ＝12，而＞，所以＝56，＝6. 17．(本小题满分12分)平面内三点A、B、C在一条直线上，OA＝(－2，m)，OB＝(n,1)，OC＝(5，－1)，且OAOB，求实数m、n的值． 【解】AC＝OC－OA＝(7，－1－m)， BC＝OC－OB＝(5－n，－2)． ∵A、B、C三点共线，AC∥BC， －14＋(m＋1)(5－n)＝0. ① 又OAOB. －2n＋m＝0. ② 由①②解得m＝6，n＝3或m＝3，n＝32. 18．(本小题满分12分)已知a，b是两个非零向量，当a＋tb(tR)的模取最小值时． (1)求t的值； (2)求证：b(a＋tb)． 【解】(1)(a＋tb)2＝|a|2＋|tb|2＋2atb， |a＋tb|最小，即|a|2＋|tb|2＋2atb最小， 即t2|b|2＋|a|2＋2t|a||b|cos 〈a，b〉最小． 故当t＝－|a|cos 〈a，b〉|b|时，|a＋tb|最小． (2)证明：b(a＋tb)＝ab＋t|b|2＝|a||b|cos 〈a，b〉－|a|cos 〈a，b〉|b||b|2＝|a||b|cos 〈a，b〉－|a||b|cos〈a，b〉＝0，故b(a＋tb)． 19．(本小题满分13分)△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA＋4OB＋5OC＝0. (1)求数量积OAOB，OBOC，OCOA； (2)求△ABC的面积． 【解】(1)∵3OA＋4OB＋5OC＝0， 3OA＋4OB＝0－5OC， 即(3OA＋4OB)2＝(0－5OC)2. 可得9OA2＋24OAOB＋16OB2＝25OC2. 又∵|OA|＝|OB|＝|OC|＝1， OA2＝OB2＝OC2＝1， OAOB＝0. 同理OBOC＝－45， OCOA＝－35. (2)S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OAC＝12|OA||OB|sin AOB＋12|OB||OC|sin BOC＋12|OC||OA|sin AOC. 又|OA|＝|OB|＝|OC|＝1. S△ABC＝12(sin AOB＋sin BOC＋sin AOC)． 由(1)OAOB＝|OA||OB|cos AOB＝cos AOB＝0得sin AOB＝1. OBOC＝|OB||OC|cos BOC＝cos BOC＝－45， sin BOC＝35， 同理sin AOC＝45. S△ABC＝65. 20．(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t满足(AB－tOC)OC＝0，求t的值． 【解】(1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)． 所以|AB＋AC|＝210，|AB－AC|＝42. 故所求的两条对角线长分别为42，210. (2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t,5＋t)． 由(AB－tOC)OC＝0，得(3＋2t,5＋t)(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－115. 图1 21．(本小题满分13分)如图1，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120，OA与OC的夹角为30，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2 3.若OC＝OA＋(，R)，求＋的值． 【解】法一：作CD∥OB交直线OA于点D，作CE∥OA交直线OB于点E，则OC＝OD＋OE， 由已知OCD＝COE＝120－30＝90，在Rt△OCD中，OD＝OCcos 30＝4， CD＝OCtan 30＝2， OE＝CD＝2. 又∵|OA|＝|OB|＝1，OD＝4OA，OE＝2 OB，即OC＝OD＋OE＝4OA＋2OB，从而＋＝6， 法二：由图可知BOC＝120－30＝90，即OBOC， 又∵OC＝OA＋ OC2＝OAOC＋OC①OCOA＝OA2＋OA ② 2 32＝|OA||OC|cos 30|OC||OA|cos 30＝＋|OB||OA|cos 120 解得＝4＝2，＋＝6. | 
