|
第一章三角函数 (时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f(x)＝3sin(x2－4)，xR的最小正周期为() A.2 B． C．2 D．4 【解析】T＝2＝212＝4 【答案】D 2．化简sin(9－)＋cos(－92－)＝() A．2sin B．2cos C．sin ＋cos D．0 【解析】sin(9－)＋cos(－92－)＝sin(－)＋cos(2＋)＝sin －sin ＝0. 【答案】D 3．函数f(x)＝tan x(＞0)图像的相邻的两支截直线y＝4所得线段长为4，则f(4)的值是() A．0 B．1 C．－1 D.4 【解析】由题意知截得线段长为一周期，T＝4， ＝4＝4， f(4)＝tan (44)＝0. 【答案】A 4．已知角的终边上一点的坐标为(sin 23，cos 23)，则角的最小正值为 () A.5 B.23 C.5 D.116 【解析】∵sin 20，cos 20， 点(sin 23，cos 23)在第四象限． 又∵tan ＝cos 23sin 23＝－33， 的最小正值为2－16＝116. 【答案】D 5．要得到函数y＝sin(4x－3)的图像，只需把函数y＝sin 4x的图像() A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向左平移12个单位长度 D．向右平移12个单位长度 【解析】由于y＝sin(4x－3)＝sin[4(x－12)]，所以只需把y＝sin 4x的图像向右平移12个单位长度，故选D. 【答案】D 6．设函数f(x)＝sin(2x＋3)，则下列结论正确的是() A．f(x)的图像关于直线x＝3对称 B．f(x)的图像关于点(4，0)对称 C．把f(x)的图像向左平移12个单位长度，得到一个偶函数的图像 D．f(x)的最小正周期为，且在[0，6]上为增函数 【解析】f(3)＝sin(23＋3)＝sin ＝0，故A错； f(4)＝sin(24＋3)＝sin(3)＝cos 3＝120，故B错；把f(x)的图像向左平移12个单位长度，得到y＝cos 2x的图像，故C正确． 【答案】C 7．(2023福建高考)函数f(x)＝sin(x－4)的图像的一条对称轴是() A．x＝4 B．x＝2 C．x＝－4 D．x＝－2 【解析】法一∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点， 故令x－4＝k2，kZ，x＝k4，kZ. 取k＝－1，则x＝－4. 法二x＝4时，y＝sin(4)＝0，不合题意，排除A；x＝2时，y＝sin(4)＝22，不合题意，排除B；x＝－4时，y＝sin(－4)＝－1，符合题意，C项正确；而x＝－2时，y＝sin(－4)＝－22，不合题意，故D项也不正确． 【答案】C 8．(2023西安高一检测)下列函数中，以为周期且在区间(0，2)上为增函数的函数是() A．y＝sinx2 B．y＝sin x C．y＝－tan x D．y＝－cos 2x 【解析】C、D中周期为，A、B不满足T＝. 又y＝－tan x在(0，2)为减函数，C错． y＝－cos 2x在(0，2)为增函数． y＝－cos 2x满足条件． 【答案】D 9．已知函数y＝sin x3在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为() A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】T＝6，则5T4t，如图： t152，tmin＝8. 故选C. 【答案】C 10．(2023天津高考)将函数f(x)＝sin x(其中0)的图像向右平移4个单位长度，所得图像经过点(34，0)，则的最小值是() A.13 B．1 C.53 D．2 【解析】根据题意平移后函数的解析式为y＝sin (x－4)，将(34，0)代入得sin 2＝0，则＝2k，kZ，且0，故的最小值为2. 【答案】D 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上) 11．已知圆的半径是6 cm，则15的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm2. 【解析】2023，扇形的面积为S＝12r2＝202312＝32. 【答案】32 12．sin(－120)cos 1 290＋cos(－1 020)sin(－1 050)＝________. 【解析】原式＝－sin(180－60cos(2023＋210)＋cos(－1 080＋60sin(－2023＋30) ＝－sin 60cos(180＋30)＋cos 60sin 30 ＝－32(－32)＋2023＝1. 【答案】1 13．(2023江苏高考)函数y＝3sin(2x＋4)的最小正周期为________． 【解析】函数y＝3sin(2x＋4)的最小正周期T＝2. 【答案】 图1 14．已知函数f(x)＝sin(x＋)(0)的图像如图所示，则＝________. 【解析】由图像可知， T＝4(23)＝43， ＝2T＝32. 【答案】32 15．关于x的函数f(x)＝sin(x＋)有以下命题： ①对于任意的，f(x)都是非奇非偶函数；②不存在，使f(x)既是奇函数又是偶函数；③存在，使f(x)是奇函数；④对任意的，f(x)都不是偶函数． 其中假命题的序号是________． 【解析】当＝2k，kZ时，f(x)＝sin x是奇函数； 当＝(2k＋1)，kZ时，f(x)＝－sin x仍是奇函数； 当＝2k2，kZ时，f(x)＝cos x或＝2k2，kZ时，f(x)＝－cos x都是偶函数． 所以①和④是错误的，③是正确的． 又因为无论取何值都不能使f(x)恒为零，故②正确．所以填①④. 【答案】①④ 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)已知角x的终边过点P(1，3)． (1)求：sin(－x)－sin(2＋x)的值； (2)写出角x的集合S. 【解】∵x的终边过点P(1，3)， r＝|OP|＝12＋32＝2. sin x＝32，cos x＝12. (1)原式＝sin x－cos x＝3－12. (2)由sin x＝32，cos x＝12. 若x[0,2]，则x＝3， 由终边相同角定义，S＝{x|x＝2k3，kZ}. 17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(x＋)＋2(A＞0，＞0)图像上的一个最高点的坐标为(8，22)，则此点到相邻最低点间的曲线与直线y＝2交于点(38，2)，若(－2)． (1)试求这条曲线的函数表达式； (2)求函数的对称中心． 【解】(1)由题意得A＝22－2＝2. 由T4＝38＝4， 周期为T＝. ＝2T＝2＝2， 此时解析式为y＝2sin(2x＋)＋2. 以点(8，22)为“五点法”作图的第二关键点，则有 28＋2， 4， y＝2sin(2x＋4)＋2. (2)由2x＋4＝kZ)得x＝k8(kZ)． 函数的对称中心为(k8，2)(kZ)． 18．(本小题满分12分)(2023陕西高考)函数f(x)＝Asin(x－6)＋1(A0，0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2. (1)求函数f(x)的解析式； (2)设(0，2)，f(2)＝2，求的值． 【解】(1)∵函数f(x)的最大值为3，A＋1＝3，即A＝2. ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2， 最小正周期T＝，＝2， 函数f(x)的解析式为y＝2sin(2x－6)＋1. (2)∵f(2)＝2sin(－6)＋1＝2， sin(－6)＝12. ∵02，－－3， －6，＝3. 19．(本小题满分13分)已知y＝a－bcos 3x(b0)的最大值为32，最小值为－12. (1)求函数y＝－4asin(3bx)的周期、最值，并求取得最值时的x的值； (2)判断(1)问中函数的奇偶性． 【解】(1)∵y＝a－bcos 3x，b0， ymax＝a＋b＝32，ymin＝a－b＝－12，解得a＝12，b＝1. 函数y＝－4asin(3bx)＝－2sin 3x， 此函数的周期T＝23. 当x＝2k6(kZ)时，函数取得最小值－2； 当x＝2k6(kZ)时，函数取得最大值2. (2)∵函数解析式为y＝－2sin 3x，xR， －2sin(－3x)＝2sin 3x，即f(－x)＝－f(x)， f(x)为奇函数． 20．(本小题满分13分)函数f1(x)＝Asin(x＋0，0，|2)的一段图像过点(0,1)，如图所示． 图2 (1)求函数f1(x)的表达式； (2)将函数y＝f1(x)的图像向右平移4个单位，得函数y＝f2(x)的图像，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合，并写出该函数的增区间． 【解】(1)由题意知T＝，＝2. 将y＝Asin 2x的图像向左平移12，得y＝Asin(2x＋)的图像，于是＝212＝6. 将(0,1)代入y＝Asin(2x＋6)，得A＝2. 故f1(x)＝2sin(2x＋6)． (2)依题意，f2(x)＝2sin[2(x－4)＋6] ＝－2cos(2x＋6)，xKb 1. Com y＝f2(x)的最大值为2. 当2x＋6＝2k(kZ)， 即x＝k12(kZ)时，ymax＝2， x的集合为{x|x＝k12，kZ}． ∵y＝cos x的减区间为x[2k，2k]，kZ， f2(x)＝－2cos (2x＋6)的增区间为{x|2k2x＋2k，kZ}，解得{x|k12k12，kZ}， f2(x)＝－2cos(2x＋6)的增区间为x－12，k12]，kZ. 图3 21．(本小题满分13分)已知定义在区间[－3]上的函数y＝f(x)的图像关于直线x＝－6对称，当x[－6，23]时，函数f(x)＝Asin(x＋0，0，－2)，其图像如图所示． (1)求函数y＝f(x)在[－3]上的表达式； (2)求方程f(x)＝22的解． 【解】(1)由图像可知，A＝1，T4＝26＝2， T＝2. ＝2T＝2＝1. ∵f(x)＝sin(x＋)过点(23，0)， 23＋. 3. f(x)＝sin(x＋3)，x[－6，23]． ∵当－x6时，－－x－23， 又∵函数y＝f(x)在区间[－3]上的图像关于直线x＝－6对称， f(x)＝f(－x－3)＝sin[(－x－3)＋3]＝sin(－x)＝－sin x，x[－，－6]． f(x)＝sinx＋3，x[－6，23]，－sin x，x[－，－6. (2)当－x3时，x＋. 由f(x)＝sin(x＋3)＝22，得x＋4或x＋3＝34， x＝－12或x＝512. 当－x6时，由f(x)＝－sin x＝22，即sin x＝－22得x＝－4或x＝－34. 方程f(x)＝22的解为x＝－12或512或－4或－3 | 
