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第三章概率 (时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法正确的是() A．如果一事件发生的概率为一百万分之一，说明此事件不可能发生 B．如果一事件发生的概率为310，那么在10次试验中，该事件发生了3次 C．如果某奖券的中奖率是10%，则购买一张奖券中奖的可能性是10% D．如果一事件发生的概率为99.999 999 9%，说明此事件必然发生 【解析】某一事件发生的概率很小或很大，都还说明此事件是随机事件，概率描述刻画了该事件发生可能性大小，所以A，D均不正确，B不正确，C正确，故选C. 【答案】C 2．从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2个球，下列情况是互斥而不对立的两个事件是() A．至少有一个红球，至少有一个白球 B．恰有一个红球，都是白球 C．至少有一个红球，都是白球 D．至多有一个红球，都是红球 【解析】A中，“至少有一个红球”可能为一红一白，“至少有一个白球”，可能为一白一红，两事件可能同时发生，故不是互斥事件．B中“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任选两球还有两球都是红球的情况，故不是对立事件．C为对立事件，D为对立事件． 【答案】B 3．(2023吉安检测)取一个正方形及其外接圆，随机向圆内抛一颗豆子，则豆子落在正方形外的概率为() A.2 B. C.2 D.4 【解析】设圆的半径为a，则S圆＝a2， S正方形＝(2a)2＝2a2， 故豆子落在正方形外的概率为a2－2a2a2＝. 【答案】B 图1 4．如图1所示，在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概率是() A.14 B.12 C.34 D.23 【解析】作PEBC，ADBC，垂足分别为E，D.当△PBC的面积刚好等于S4时，PE＝14AD，要想S△PBC14S，则PB14AB，故概率为P＝34ABAB＝34. 【答案】C 5．设a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为() A.23 B.13 C.12 D.512 【解析】若方程有实根，则a2－80.a的所有取值情况共6种，满足a2－80的有4种情况，故P＝46＝23. 【答案】A 6．在一个袋子中装有分别标注着数字1,2,3,4,5,6的六个小球，这些小球除标注的数字外，完全相同．现从中随机地一次取出两个小球，则取出的小球标注的数字之和为5或6的概率是() A.215 B.15 C.415 D.13 【解析】用(x，y)表示取出两球上标注的数字，则所有的基本事件是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共有15个．数字之和为5或6包含的基本事件有：(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，共有4个．则所求概率为415. 【答案】C 7．(2023九江检测)在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为() A.120 B.115 C.15 D.16 【解析】在三棱锥的六条棱中任意选择两条直线共有15种情况，其中异面的情况有3种，则两条棱异面的概率为P＝315＝15. 【答案】C 8．甲、乙两人玩猜数字，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|1.就称甲乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为() A.19 B.29 C.718 D.49 【解析】由于a，b{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种．而依题意得基本事件的总数有36种． 故P＝2023＝49. 【答案】D 9．从装有4粒相同的玻璃球的瓶中，随意倒出若干粒玻璃球(至少1粒)，记倒出奇数粒玻璃球的概率为P1，倒出偶数粒玻璃球的概率为P2，则() A．P1＜P2 B．P1＞P2 C．P1＝P2 D．P1，P2大小不能确定 【解析】我们将4粒玻璃球编号为1、2、3、4号，倒出1粒有4种情况，倒出2粒有6种情况，倒出3粒有4种情况，倒出4粒有1种情况，我们可认为基本事件总数为4＋6＋4＋1＝15，则倒出奇数粒玻璃球的概率为815，倒出偶数粒玻璃球的概率为715. 【答案】B 10．(2023安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为() A.23 B.25 C.35 D.910 【解析】由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种， 所求概率P＝910. 【答案】D 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上) 11．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点p的坐标，则点p落在圆x2＋y2＝25外的概率是________． 【解析】易知p(x，y)共有36种，其中p落在x2＋y2＝25外的有(1,5)，(5,1)，(1,6)，(6,1)，(2,5)，(5,2)，(2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(3,6)，(6,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)共有21种， P＝2023＝712. 【答案】712 12．在正方形ABCD内任取一点P，则使90的概率是________． 【解析】如图所示，以AB为直径作半圆，当点P落在AB上时，APB＝90，所以使90的点落在图中的阴影部分．设正方形的边长为1，“在正方形ABCD内任取一点P，则使90”为事件A，则＝1，A＝1－12(12)2＝1－8，P(A)＝1－8. 【答案】1－8 13．先后2次抛掷一枚骰子，所得点数分别为x，y，则xy是整数的概率是________． 【解析】先后两次抛掷一枚骰子，得到的点数分别为x，y的情况一共有36种，其中xy是整数的情况有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6)共14种．故xy是整数的概率为718. 【答案】718 图2 14．如图2，一只蚂蚁在一直角边长为1 cm的等腰直角三角形ABC(B为直角)的边长爬行，则蚂蚁距A点不超过1 cm的概率为________． 【解析】该问题属于几何概型，蚂蚁沿△ABC的边爬行的总长度为2＋2，其中距A点不超过1 cm时的长度为1＋1＝2，根据几何概型概率计算公式得P＝22＋2＝2－2. 【答案】2－2 15．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(25，nN)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为________． 【解析】点P的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，点P(a，b)落在直线x＋y＝n上(25，nN)，且事件Cn的概率最大，当n＝3时，P点可能是(1,2)，(2,1)．当n＝4时，P点可能为(1,3)，(2,2)，即事件C3，C4的概率最大，故n＝3或4. 【答案】3或4 | 
