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数学必修1(苏教版) 2．1函数的概念和图象 2．1.2函数的表示方法 要表示一种函数关系，可以有很多的方式，最直截了当的就是一一列出变量之间的所对应的数值．这种表示方法的好处就是一目了然，但不能容易地让人理解变量之间的对应规律． 要想能容易地让人理解变量之间的对应规律，可以使用图示的方式．用图来表示变量之间的依赖关系，可以很直观地说明这种依赖关系的很多性质．图示的缺点就是不能精确地给出数值，也不能精确地表达函数的性质． 最精确的表达方式是给出函数关系的解析表达式．有了解析表达式，就可以对已知数值进行确定的数学计算，从而得到未知量的精确数值．更进一步，通过对解析表达式的数学分析，可以得出函数性质的精确的表达． 这几种方法各有千秋，这是本节要学习的内容。 基础巩固 1．如图，在△AOB中，点A(2,1)，B(3,0)，点E在射线OB上自O开始移动．设OE＝x，过E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是() 解析：当02时，S＝14x2，排除B、C； 当2＜x3时，S＝2023－12(x－3)2＝12(－x2＋6x－6)；当x＞3时，S＝2023＝32. 答案：D 2．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s，横轴表示该同学出发后的时间t，则比较符合该同学行进实际的是() 解析：依题意：s表示该同学与学校的距离，t表示该同学出发后的时间，当t＝0时，s最远，排除A、B，由于汽车速度比步行快，因此前段迅速靠近学校，后段较慢．选D. 答案：D 3．g(x)＝1－2x，f(g(x))＝1－x2x2(x0)，则f12＝() A．1 B．3 C．15 D．30 解析：由g(x)＝12得：1－2x＝12x＝14，代入1－x2x2得： ＝15. 答案：C 4．定义两种运算：a b＝a2－b2，ab＝a－b2，则函数f(x)＝ 的解析式为() A．f(x)＝4－x2x，x[－2,0)(0,2] B．f(x)＝x2－4x，x(－，－2][2，＋) C．f(x)＝－x2－4x，x(－，－2][2，＋) D．f(x)＝－4－x2x，x[－2,0)(0,2] 解析：由题知2?x＝4－x2， x2＝x－22，则f(x)＝4－x2x－22－2， 又4－x20，－22， 则f(x)＝4－x22－x－2＝－4－x2x，－22，且x0. 答案：D 5．已知函数f(n)＝n－3，n10，f[fn＋5]，n10(nN*)，则f(5)＝() A．5 B．6 C．7 D．8 解析：f(5)＝f[f(10)]＝f(7)＝f[f(12)]＝f(9)＝f[f(14)]＝f(11)＝11－3＝8. 答案：D 6．已知函数f(x)＝x2＋3x，x0，2，x0，则方程f(x)＝x的解的个数为________． 解析：x0时，x＝f(x)＝2；x0时，x2＋3x＝xx＝0或－2. 答案：3个 7．已知正方形的周长为x，它的外接圆半径为y，则y关于x的解析式是________． 答案：y＝28x 8．若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24(a，b为常数)，则5a－b＝________. 解析：∵f(x)＝x2＋4x＋3， f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3 ＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3. 又f(ax＋b)＝x2＋10x＋24， a2＝1，2ab＋4a＝10，b2＋4b＋3＝24a＝1，b＝3或a＝－1，b＝－7. 5a－b＝2. 答案：2 9．已知f1＋x1－x＝1－x21＋x2，求f(x)的解析式． 解析：令1＋x1－x＝t，则x＝t－1t＋1， f(t)＝ ＝2tt2＋1， f(x)＝2xx2＋1. 由于t＝1＋x1－x＝－1＋21－x－1，f(x)＝2xx2＋1(x－1)． 10．已知二次函数满足f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，求f(x)． 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)， 则f(3x＋1)＝a(3x＋1)2＋b(3x＋1)＋c ＝9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c. ∵f(3x＋1)＝9x2－6x＋5， 9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c＝9x2－6x＋5. 比较两端系数，得 9a＝9，6a＋3b＝－6，a＋b＋c＝5a＝1，b＝－4，c＝8. f(x)＝x2－4x＋8. 11．已知二次函数f(x)的图象经过A(0,2)，B(1.0)，C(3,2)三点，求f(x)的解析式． 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)，把A，B，C三点坐标代入得c＝2，a＋b＋c＝0，9a＋3b＋c＝2a＝1，b＝－3，c＝2. f(x)＝x2－3x＋2. 能力提升 12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一位代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一位代表，那么各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为() A．y＝x10 B．y＝x＋310 C．y＝x＋410 D．y＝x＋510 解析：当x＝56时，y＝5，排除C，D；当x＝57时，y＝6，排除A.只有B正确． 答案：B 13．任取x1、x2[a，b]且x1x2，若fx1＋x22＞12[f(x1)＋f(x2)]，则f(x)在[a，b]上是凸函数，在以下图象中，是上凸函数的图象是() 解析：只需在图形中任取自变量x1，x2，分别标出它们对应的函数值及x1＋x22对应的函数值，并观察它们的大小关系即可． 答案：D 14．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝Cx，xA，CA，xA，A，C为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是() A．75,25 B．75.16 C．60,25 D．60,16 解析：由条件可知，xA时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数，即f(4)＝C4＝30C＝60，f(A)＝60A＝15A＝16. 答案：D 15．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出： x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f[g(1)]的值为________，满足f[g(x)]g[f(x)]的x值是________ 解析：f[g(1)]＝f(3)＝1， 当x＝1时，f[g(1)]＝f(3)＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3，不满足； 当x＝2时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，满足； 当x＝3时，f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝1，不满足． x＝2. 答案：12 16．设函数f(x)＝x＋12，x＜1，4－x－1，x1，则使得f(x)1的自变量x的取值范围为________． 解析：x＜1时，f(x)(x＋1)2x－2或xx－2或0x＜1；x1时，f(x)4－x－1x－1x110. x－2或010. 答案：(－，－2][0,10] 17．定义运算a*b＝a，ab，b，a＞b，则对xR，函数f(x)＝x*(2－x)的解析式为f(x)＝________. 答案：x，x12－x，x＞1 18．某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系用图甲表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如下表所示： t/天 5 15 20 30 Q/件 35 25 20 10 (1)根据提供的图象(图甲)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式； (2)在所给直角坐标系(图乙)中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定一个日销售量Q与时间t的函数关系式； (3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天．(日销售金额＝每件的销售价格日销售量) 解析：(1)根据图象，每件的销售价格P与时间t的函数关系式为： P＝t＋20，0＜t＜25，tN，－t＋100，2023，tN. (2)描出实数对(t，Q)的对应点． 从图象发现：点(5,35)，(15,25)，(20,20)，(30,10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l：Q＝kt＋b. 由点(5,35)，(30,10)确定出l的解析式为Q＝－t＋40，通过检验可知，点(15,25)，(20,20)也在直线l上． 日销售量Q与时间t的一个函数关系式为 Q＝－t＋40(0＜t30，tN)． (3)设日销售金额为y(元)， 则y＝－t2＋20t＋800，0＜t＜25，tN，t2－140t＋2023，2023，tN， 因此y＝－t－102＋900，0＜t＜25，tN，t－702－900，2023，tN. 若0＜t＜25(tN)，则当t＝10时，ymax＝900； 若2023(tN)，则当t＝25时，ymax＝1 125. 因此第25天时销售金额最大． | 
