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函数的最值课后强化练习2（附解析新人教A版必修1） 一、选择题 1．设函数f(x)的定义域为R，以下三种说法：①若存在常数M，使得对任意xR，有f(x)M，则M是f(x)的最大值；②若存在x0R，使得对任意xR，且xx0有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值；③若存在x0R，使得对任意xR，且xx0有f(x)f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值．其中正确的个数为() A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]C 2．函数f(x)＝2x＋6，x1，2]，x＋7，x[－1，1]，则f(x)的最大值、最小值是() A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对 [答案]A [解析]f(x)＝2x＋6，x[1,2]最大值为10，最小值为8，f(x)＝x＋7，x[－1,1)最大值为8，最小值6.因此f(x)＝2x＋612x＋7－1x＜1最大值为10，最小值为6，故选A. 3．(2023～2023石家庄高一检测)若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是() A．2 B．－2 C．2或－2 D．0 [答案]C [解析]当a＝0时，不满足题意；当a0时，y＝ax＋1在[1,2]上为增函数，2a＋1－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a0时，y＝ax＋1在[1,2]上为减函数，a＋1－(2a＋1)＝2，解得a＝－2，故a＝2. 4．函数f(x)＝x2－4x＋3，x[1,4]，则f(x)的最大值为() A．－1 B．0 C．3 D．－2 [答案]C [解析]f(x)＝x2－4x＋3的对称轴为x＝2，所以最大值为f(4)＝42－44＋3＝3. 5．函数f(x)＝2x－1＋x的值域是() A．[12，＋) B．(－，12] C．(0，＋) D．[1，＋) [答案]A [解析]∵y＝2x－1和y＝x在[12，＋)上都是增函数，f(x)在[12，＋)上是单调增函数． f(x)f(x)min＝f(12)＝12. 6．若014，则1t－t的最小值是() A．－2 B．154 C．2 D．0 [答案]B [解析]y＝1t－t在(0，14]上为减函数，当t＝14时y有最小值154，故选B. 二、填空题 7．若函数y＝kx(k＞0)在[2,4]上的最小值为5，则k的值为________． [答案]20 [解析]∵k＞0，函数y＝kx在[2,4]上是减函数，当x＝4时，ymin＝k4，此时k4，此时k4＝5，k＝20. 8．函数f(x)＝x2＋bx＋1的最小值是0，则实数b＝________. [答案]2 [解析]f(x)是二次函数，二次项系数1＞0， 则最小值为f(－b2)＝b24－b22＋1＝0， 解得b＝2. 9．(能力拔高题)定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数x1，x2，总有fx1－fx2x1－x2＞0成立，且f(－3)＝a，f(－1)＝b，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是________． [答案]b [解析]由fx1－fx2x1－x2＞0，得f(x)在R上是增函数，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是f(－1)＝b. 三、解答题 10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x[－5,5]． (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)函数y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，求实数a的取值范围． [解析](1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1. ∵x[－5,5]，f(x)min＝f(1)＝1； f(x)max＝f(－5)＝37. (2)∵f(x)＝(x＋a)2＋2－a2， 函数的对称轴为直线x＝－a. ∵函数f(x)在[－5,5]上是单调的， －a－5或－a5， 即a5或a－5. 实数a的取值范围是{a|a5或a－5}． 11．已知函数f(x)＝x2＋2x＋3x(x[2，＋))． (1)证明函数f(x)为增函数； (2)求f(x)的最小值． [解析]将函数式化为：f(x)＝x＋3x＋2. (1)任取x1，x2[2，＋)，且x1＜x2， f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－3x1x2)． ∵x1＜x2，x1－x2＜0， 又∵x12，x2＞2，x1x2＞4,1－3x1x2＞0. f(x1)－f(x2)＜0，即：f(x1)＜f(x2)． 故f(x)在[2，＋)上是增函数． (2)当x＝2时，f(x)有最小值112. 12．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元． (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元？ (2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式． (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本价)? [分析]本题属于函数建模应用题，解决此类问题的关键在于读懂题，恰当设出未知量，列出函数关系． [解析](1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则 x0＝100＋60－510.02＝550. 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格为51元． (2)当2023时，P＝60. 当202350时， P＝60－0.02(x－100)＝62－x50. 当x550时，P＝51. 所以P＝f(x)＝60，202362－x50，202350，xN51，x550.. (3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则 L＝(P－40)x＝20x，202322x－x250，202350，xN11x，x550. 当x＝500时，L＝6 000； 当x＝1 000时，L＝11 000. 因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个，利润是11 000元． | 
