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函数的奇偶性同步检测1（带解析新人教A版必修1） 一、选择题 1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是() [答案]B 2．下列命题中错误的是() ①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数； ②奇函数的图象一定过原点； ③偶函数的图象与y轴一定相交； ④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ [答案]D [解析]f(x)＝1x为奇函数，其图象不过原点，故②错；y＝x－1x1－x－1－1为偶函数，其图象与y轴不相交，故③错． 3．(2023～2023山东冠县武训中学月考试题)下列函数中是偶函数的是() A．y＝x4－3 B．y＝x2x(－3,3] C．y＝－3x D．y＝2(x－1)2＋1 [答案]A 4．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx() A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数又非偶函数 [答案]A [解析]∵f(－x)＝f(x)， a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c对xR恒成立． b＝0. g(x)＝ax3＋cx. g(－x)＝－g(x)． 5．已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝() A．－15 B．15 C．10 D．－10 [答案]A [解析]解法1：f(－3)＝(－3)7＋a(－3)5＋(－3)b－5＝－(37＋a35＋3b－5)－10＝－f(3)－10＝5， f(3)＝－15. 解法2：设g(x)＝x7＋ax5＋bx，则g(x)为奇函数， ∵f(－3)＝g(－3)－5＝－g(3)－5＝5， g(3)＝－10，f(3)＝g(3)－5＝－15. 6．(2023辽宁)若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝() A．12 B．23 C．34 D．1 [答案]A [分析]因为已知函数为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，由此求a. [解析]要使函数式有意义，则x－12，xa，而函数为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，由此得a＝12.经验证当a＝12时，函数f(x)是奇函数． 二、填空题 7．若函数f(x)是奇函数，则f(1＋2)＋f(11－2)＝________. [答案]0 [解析]11－2＝－(1＋2)，f(1＋2)＋f(11－2)＝f(1＋2)－f(1＋2)＝0. 8．已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________. [答案]6 [分析]将x＝－2代入g(x)＝f(x)＋9，利用f(－2)＝－f(2)求f(2)． [解析]根据已知条件，得g(－2)＝f(－2)＋9，又f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)，则3＝－f(2)＋9，即f(2)＝6. 9．(2023～2023河南安阳一中月考试题)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b)是偶函数，它的值域为(－，4]，则该函数的解析式f(x)＝________. [答案]－2x2＋4 [解析]由于f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2， 所以f(－x)＝bx2－(ab＋2a)x＋2a2， ab＋2a＝0，a＝0或b＝－2. 又f(x)最大值4.所以b＝－2， 且f(0)＝2a2＝4，a＝2， f(x)＝－2x2＋4. 三、解答题 10．函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f12＝25，求函数f(x)的解析式． [解析]因为f(x)是奇函数且定义域为(－1,1)， 所以f(0)＝0，即b＝0. 又f12＝25，所以12a1＋122＝25， 所以a＝1，所以f(x)＝x1＋x2. 11．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式． [解析]f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2 又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得： f(x)＝x2－2，g(x)＝x. 12．已知f(x)是定义在R上的函数，对任意的x，yR都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)0. (1)求证：f(0)＝1. (2)判断函数的奇偶性． [解析](1)令x＝y＝0,2f(0)＝2f(0)2， 因f(0)0，则f(0)＝1. (2)令x＝0，有f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)，则f(－y)＝f(y)， f(x)是偶函数． | 
