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对数的运算课后训练（带解析新人教A版必修1） 一、选择题 1．若a＞0，a1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子中正确的个数有() ①logaxlogay＝loga(x＋y)； ②logax－logay＝loga(x－y)； ③logaxy＝logaxlogay； ④loga(xy)＝logaxlogay. A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]A [点拨]对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减，乘的运算．在运算中注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算，如logaxlogax，logax是不可分开的一个整体.4个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的． 2．下列各式错误的是() ①log202300＝－2； ②log333＝13； ③lga＋lg1a＝0(a＞0)； ④log318－log32＝3； ⑤log2023－log2023＝－2； ⑥2log510＋log50.25＝2. A．④ B．⑤ C．⑥ D．全错 [答案]A [解析]显然①②③成立； ④式左边＝log2023＝log39＝23，故④式不成立； ⑤式左边＝log202325＝log202300＝－2， ⑥式左边＝log2023＋log50.25＝log5(2023.25)＝log525＝2，故选A. 3．(2023～2023晋江高一检测)已知ab＝M(a＞0，b＞0，M1)，logMb＝x，则logMa的值为() A．1x B．1＋x C．1－x D．x－1 [答案]C [解析]logMa＝logMMb＝logMM－logMb＝1－x，故选C. 4．已知2x＝9，log283＝y，则x＋2y的值为() A．6 B．8 C．4 D．log48 [答案]A [解析]∵2x＝9，x＝log29， x＋2y＝log29＋2log283＝log29＋log2023＝log2(2023)＝log264＝6， 故选A. 5．(2023～2023克拉玛依高一检测)若p＝log23log34，Q＝lg2＋lg5，M＝e0，N＝ln1，则正确的是() A．P＝Q B．Q＝M C．M＝N D．N＝P [答案]B [解析]P＝log24＝2，Q＝lg2＋lg5＝1 M＝1，N＝0，Q＝M，选B. 6．(2023～2023曲靖高一检测)已知2x＝72y＝A，且1x＋1y＝2，则A的值是() A．7 B．72 C．72 D．98 [答案]B [解析]x＝log2A，y＝12logA7， 1x＋1y＝1log2A＋2log7A＝logA2＋2logA7＝logA(272)＝logA98＝2，A2＝98， A＝72，故选B. 二、填空题 7．(2023～2023河北孟村回民中学月考试题)化简 log2(1＋2＋3)＋log2(1＋2－3)＝________. [答案]32 [解析]log2(1＋2＋3)＋log2(1＋2－3) ＝log2[(1＋2)2－32]＝log222＝log2023＝32. 8．计算lg5lg20＋(lg2)2＝________. [答案]1 [解析]原式＝lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝(lg5)2＋2lg2lg5＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝(lg10)2＝1. 9．log43log20232＝________. [答案]－58 [解析]原式＝log43(－14log332)＝－14log432＝－14log2023＝－2023＝－58. 三、解答题 10．若a＞0且a1，x＞y＞0，nN*，则下列各式： (1)(logax)n＝nlogax； (2)(logax)n＝logaxn； (3)logax＝－loga1x； (4)logaxlogay＝logaxy； (5)nlogax＝1nlogax； (6)logaxn＝loganx； (7)logax＝loganxn； (8)logax－yx＋y＝－logax＋yx－y. 其中成立的有多少个． [解析]利用对数的运算性质判断各式是否正确即可． (1)是错误的，如(log24)3＝83log24＝6； (2)是错误的，如(log24)3＝8log243＝log226＝6； (3)是正确的，因为－loga1x＝－logax－1＝logax； (4)是错误的，如log24log22＝2log242＝1； (5)同①一样，也不正确； (6)是正确的，因为loganx＝logax1n ＝1nlogax； (7)是正确的，设loganxn＝y，则(an)y＝xn， 即x＝nany＝anyn＝ay，所以y＝logax，即loganxn＝logax； (8)是正确的，因为logax－yx＋y＝loga(x＋yx－y)－1 ＝－logax＋yx－y.所以成立的有4个． [点评]利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，运用对数的运算性质时一要注意真数必须大于0；二要注意积、商、乘方的对数运算对应着对数的和、差、积的运算． 11．计算：(1)(log2023 )2＋log0.2023＋9log55－log31； (2)lg25＋23lg8＋lg5lg20＋(lg2)2. (3)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8. [分析]直接利用对数的运算性质进行计算，注意对真数进行适当的拆分与组合． [解析](1)(log2023 )2＋log0.2023＋9log55－log31＝(12)2＋1＋912－0＝14＋1＋92＝234. (2)原式＝lg25＋lg823＋lg102lg(102)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(254)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3. (3)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝2lg2＋lg31＋12lg0.62＋13lg23 ＝2lg2＋lg31＋lg0.6＋lg2＝2lg2＋lg31＋lg6－lg10＋lg2 ＝2lg2＋lg3lg6＋lg2＝2lg2＋lg3lg2＋lg3＋lg2＝2lg2＋lg32lg2＋lg3＝1. [点评]在解题中，对于常用对数要注意要10＝25,2＝105,5＝102的拆解与公式的灵活运用． 12．已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log2023. [分析]本题是不同底数的对数之间的运算，解答本题可先利用换底公式化成同底的对数，然后根据对数的运算法则求解． [解析]解法一：log189＝a,18b＝5，log185＝b， log2023＝log2023log2023＝log2023log20232＝log189＋log2023＋log182 ＝a＋b1＋log20239＝a＋b2－a. 解法二：∵log189＝a,18b＝5，log185＝b， log2023＝log2023log20239＝log189＋log2023log2023－log189＝a＋b2－a. 解法三：∵log189＝a,18b＝5，lg9＝alg18，lg5＝blg18. log2023＝lg45lg36＝lg95lg2023＝lg9＋lg52lg18－lg9 ＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a＋b2－a. | 
