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训练21 对数函数的性质的应用 基础巩固 站起来，拿得到！ 1.已知f(x)= (2x+1)在(- ,0)内恒有f(x)0,则a的取值范围是( ) A.a B.01 C.a-1或a D.- -1或1 答案：D 解析：∵- 0,01. 要使x(- ,0)时,f(x)0,则01, 即12, - -1或1 . 2.设函数f(x)=logax(a1)满足f(9)=2,则f-1(log92)的值是( ) A.log3 B. C. D.2 答案：C 解析：f(9)=2 loga9=2,a=3. 令logax=log92,则x= . 3.已知f(x5)=lgx,则f(2)等于( ) A.lg2 B.lg32 C.lg D. lg2 答案：D 解析：令t=x5,则x= ,由f(x5)=lgx, 有f(t)=lg = lgt, f(2)= lg2. 4.不等式loga(x2-2x+3)-1在xR上恒成立,则a的取值范围是( ) A.［2,+) B.(1,2] C.［ ,1) D.(0, ) 答案：C 解析：x2-2x+3=(x-1)2+22. 又loga(x2-2x+3)-1, 01且 x2-2x+3对xR恒?成立.? 1. 5.函数y=logax的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位后所得图象过点(2,2),则a=___________. 答案：3 解析：依题意知y=loga(x+1)+1过点(2,2), 2=loga3+1, 即loga3=1.a=3. 6.设函数f(x)= 则满足f(x)= 的x值为_________________. 答案：3 解析：当x1时,2-x=( )x . 当x1时,log81x0, 所以log81x= ,x= =3. 7.已知函数f(x)=loga(ax-1)(a1). (1)求f(x)的定义域; (2)当x为何值时,函数值大于1; (3)讨论f(x)的单调性; (4)解方程f(2x)=f-1(x). 解：(1)∵a1,由ax-10,得x0. f(x)的定义域为(0,+). (2)由loga(ax-1)1, 故当a1时,xloga(a+1), 即当xloga(a+1)时,f(x)1. (3)当a1时,f(x)在定义域(0,+)上单调递增. (4)由y=loga(ax-1)(a1)得其反函数为f-1(x)=loga(ax+1). loga(ax+1)=loga(a2x-1). ∵对数函数在整个定义域上是单调的, 有ax+1=a2x-1. (ax-2)(ax+1)=0. ax=2,ax=-1(舍去). x=loga2. 能力提升 踮起脚,抓得住! 8.下面结论中,不正确的是( ) A.若01,0n1,则一定有logamlogan0 B.函数y=3x与y=log3x的图象关于y=x对称 C.函数y=logax2与y=2logax表示同一函数 D.若a(0,1),则y=logax与y=ax在定义域内均为减函数 答案：C 解析：∵y=logax2=2loga|x|= 与y=2logax不表示同一函数. 注意:此题也可以从定义域或者图象等方面考虑两函数是否为同一函数. 9.函数y=log0.5(x2-3x+2)的递增区间是( ) A.(-,1) B.(2,+) C.(-, ) D.( ,+) 答案：A 解析：∵x2-3x+20, x(-,1)(2,+). 根据复合函数的单调性可知,f(x)在(-,1)上是增函数,在(2,+)上是减函数. 10.若y=loga(x+1)(a0且a1)在(-1,0)上有f(x)0,则a的取值范围是_____________. 答案：a1 解析：∵x(-1,0］, x+1(0,1］, 即y=loga(x+1)在x+1(0,1)上f(x)0. a1. 11.函数y=( x)2- +5在区间［2,4］上的最小值是_______________. 答案： 解析：y=( x)2- x+5. 令t= x(24), 则-1- 且y=t2-t+5. 当t=- 时,ymin= + +5= . 12.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1), (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的范围; (2)若f(x)的值域为R,求实数a的范围. 解：(1)若f(x)的定义域为R,则关于x的不等式ax2+2x+10的解集为R,即 解得a1. (2)若f(x)的值域为R,则ax2+2x+1能取一切正数. a=0或 解得01. 13.已知f(ex)=x2-2x+3,x［2,3］. (1)求f(x)的解析式及定义域; (2)求f(x)的最大值和最小值. 解：(1)设ex=t,则x=lnt,代入得 f(t)=ln2t-2lnt+3, f(x)=ln2x-2lnx+3. ∵23,e2e3. f(x)的定义域是［e2,e3］. (2)∵f(x)=(lnx-1)2+2,在［e2,e3］上是增函数, f(x)的最小值是f(e2)=3, 最大值是f(e3)=6. 拓展应用 跳一跳，够得着！ 14.下列各函数中,在(0,2)上为增函数的是…( ) A.y= (x+1) B.y=log2 C.y=log3 D.y= (x2-4x+5) 答案：D 解析：设t=x2-4x+5=(x-2)2+1. 则y= t. 由函数t=x2-4x+5在(0,2)上递减, 函数y= (x2-4x+5)在(0,2)上递增, 15.已知函数y=loga(x-ka)+loga(x2-a2)的定义域为(a,+),则实数k的取值范围是____________. 答案：［-1,1］ 解析：函数定义域由 得 即-11才使定义域为(a,+). 16.已知函数f(x)=loga|x|(a0,且a1),且f(x2+4x+8)). (1)写出函数f(x)的单调区间,并加以证明; (2)若方程4a-m2a+1+5=0有两个不相等的实根,求m的取值范围. 解：(1)由|x|0,知f(x)的定义域为(-,0)(0,+). 对定义域内的任一x,都有f(-x)=loga|-x|=loga|x|=f(x). ,-在定义域内. f(-). 又x2+4x+8=(x+2)2+40, 且f(x2+4x+8))=f(), 则a1.KS%5U 函数f(x)在(0,+)上为增函数,在(-,0)上为减函数. (2)令2a=t,因为a1,所以t2.则方程4a-m2a+1+5=0可化为g(t)=t2-2mt+5=0. 依题意t2-2mt+5=0有两个不等且大于2的实根, 则有(-2m)2-200,且 2. 又由g(2)0,解得 , 即方程有两不等实根时, . |
