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训练18 指数函数的性质的应用 基础巩固 站起来，拿得到！ 1.设a、b满足0b1,下列不等式中正确的是( ) A.aa B.ba C.aa D.bbab 答案：C 解析：A、B不符合底数在(0,1)之间的单调性; C、D指数相同,底小值小.故选C. 2.若01,则函数y=ax与y=(a-1)x2的图象可能是( ) 答案：D 解析：当01时,y=ax为减函数,a-10, 所以y=(a-1)x2开口向下,故选D. 3.设指数函数f(x)=ax(a0且a1),则下列等式中不正确的是( ) A.f(x+y)=f(x)f(y) B.f(x-y)= C.f(nx)=［f(x)］n D.f［(xy)n］=［f(x)］n［f(y)］n(nN*) 答案：D 解析：易知A、B、C都正确. 对于D,f［(xy)n］=a(xy)n,而［f(x)］n［f(y)］n=(ax)n(ay)n=anx+ny,一般情况下D不成立. 4.设a= ,b= ,c= ,则a、b、c的大小关系是( ) A.cb B.ca C.bc D.ba 答案：B 解析：a= =b, b= =c. ac. 5.设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)=__________________. 答案：1 解析：令f-1(0)=a,则f(a)=0即有4a-22a=0.? 2a(2a-2)=0,而2a0, 2a=2得a=1. 6.函数y=ax-3+4(a0且a1)的反函数的图象恒过定点__________________. 答案：(5,3) 解析：因y=ax的图象恒过定点(0,1),向右平移3个单位,向上平移4个单位得到y=ax-3+4的图象,易知恒过定点(3,5). 故其反函数过定点(5,3). 7.已知函数f(x)= .证明f(x)在R上是增函数. 证明：∵f(x)= , 设x1R, 则f(x1)-f(x2)= . ∵y=10x是增函数, 0. 而 +10, +10, 故当x1x2时,f(x1)-f(x2)0, 即f(x1)f(x2). 所以f(x)是增函数. 能力提升 踮起脚,抓得住! 8.若定义运算a b= 则函数f(x)=3x 3-x的值域为( ) A.(0,1] B.［1,+) C.(0,+) D.(-,+) 答案：A 解析：当3x3-x,即x0时,f(x)=3-x(0,1］; 当3x3-x,即x0时,f(x)=3x(0,1). f(x)= 值域为(0,1). 9.函数y=ax与y=-a-x(a1)的图象( ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=-x对称 答案：C 解析：可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系. 10.当x［-1,1］时,函数f(x)=3x-2的值域为__________________. 答案：［- ,1］ 解析：f(x)在［-1,1］上单调递增. 11.设有两个命题:(1)关于x的不等式x2+2ax+40对一切xR恒成立;(2)函数f(x)=-(5-2a)x是减函数.若命题(1)和(2)中有且仅有一个是真命题,则实数a的取值范围是_________________. 答案：(-,-2) 解析：(1)为真命题 =(2a)2-16a2. (2)为真命题 5-2a2. 若(1)假(2)真,则a(-,-2]. 若(1)真(2)假,则a(-2,2)［2,+］= . 故a的取值范围为(-,-2). 12.求函数y=4-x-2-x+1,x［-3,2］的最大值和最小值. 解：设2-x=t,由x［-3,2］得t［ ,8］,于是y=t2-t+1=(t- )2+ . 当t= 时,y有最小值 . 这时x=1. 当t=8时,y有最大值57. 这时x=-3. 13.已知关于x的方程2a2x-2-7ax-1+3=0有一个根是2,求a的值和方程其余的根. 解：∵2是方程2a2x-2-9ax-1+4=0的根,将x=2代入方程解得a= 或a=4. (1)当a= 时,原方程化为2( )2x-2-9( )x-1+4=0. ① 令y=( )x-1,方程①变为2y2-9y+4=0, 解得y1=4,y2= . ( )x-1=4 x=-1, ( )x-1= x=2. (2)当a=4时,原方程化为242x-2-94x-1+4=0. ② 令t=4x-1,则方程②变为2t2-9t+4=0. 解得t1=4,t2= . 4x-1=4 x=2, 4x-1= x=- . 故方程另外两根是当a= 时,x=-1; 当a=4时,x=- . 拓展应用 跳一跳，够得着！ 14.函数y= 的单调递增区间是( ) A.［1,2］ B.［2,3］ C.(-,2] D.［2,+) 答案：D 解析：因为y=3x2-4x+3,又y=3t单调递增,t=x2-4x+3在x［2,+)上递增,故所求的递增区间为［2,+). 15.已知f(x)=3x-b(24,b为常数)的图象经过点(2,1),则F(x)=f2(x)-2f(x)的值域为( ) A.［-1,+) B.［-1,63) C.［0,+) D.(0,63］ 答案：B 解析：由f(2)=1,得32-b=1,b=2,f(x)=3x-2. F(x)=［f(x)-1］2-1=(3x-2-1)2-1. 令t=3x-2,24. g(t)=(t-1)2-1,t［1,9］. 所求值域为［-1,63］. 16.已知函数f(x)=ax+ (a1). (1)证明函数f(x)在(-1,+)上为增函数; (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根. 证明：(1)任取x1、x2(-1,+),不妨设x1x2, 则x1-x2 1且 0. 0. 又x1+10,x2+10, = = 0. f(x1)-f(x2)=( )+( )0, 即f(x1)f(x2). f(x)在（-1,+)上是单调增函数. (2)假设存在x0-1)满足f(x0)=0, 则 . 又01, 01, 即 2与x00矛盾. f(x)=0没有负数根. |
