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训练8 充分条件与必要条件 基础巩固 站起来，拿得到！ 1.如果p q,q p,那么p是q的( ) A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：B 解析：由充要条件的定义易知. 2.观察右图,说明p是s的_____________条件.( ) A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 答案：A 解析：由题图易知p t s,但s p. 3.若 A是B的充分不必要条件,则A是 B的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由原命题 逆否命题知: A B B A,B A A B. 4.设p:05,q:|x-2|5,那么p是q的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：q即:-37,而p:05, p q,但q p. 5.如果命题:“若A则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A是B的________条件. 答案：必要不充分 解析：由题知,原命题为假命题,即A B. 逆命题为真命题,即B A. 故A是B的必要不充分条件. 6.命题甲:x+y3,命题乙:x1或y2,则甲是乙的___________________条件. 答案：充分不必要 解析：命题乙的否定为:x=1且y=2;命题甲的否定是:x+y=3. 当然非乙 非甲,但非甲 非乙, 也即甲 乙,但乙 甲.所以甲是乙的充分不必要条件. 7.指出下列各组命题中,p是q的什么条件(在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种)? (1)p:x{x|x-2或x3},q:x{x|x2-x-6 (2)p:a与b都是奇数,q:a+b是偶数. 解：(1)∵x{x|x2-x-60}={x|-23}, x{x|x-2或x3} x{x|-23}. 而x{x|-23} x{x|x-2或x3},所以p是q的必要而不充分条件. (2)∵a、b都是奇数?a+b是偶数,而a+b是偶数 a、b都是奇数, p是q的充分而不必要条件. 能力提升 踮起脚,抓得住! 8.(河北石家庄模拟)设条件p:|x|1,条件q:x-2,则 p是 q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：p:|x|1, p:-11.又q:x-2, q:x-2, p是 q的充分不必要条件.选A. 9.设f(x)=x2-4x(xR),则f(x)0的一个必要不充分条件是( ) A.x B.x0或x4 C.|x-1| D.|x-2|3 答案：A 解析：f(x)0或x4. x0 f(x)0. 10.已知a为非零实数,x为实数,则命题“x{-a,a}”是“|x|=a”的________________条件. 答案：既不充分也不必要 解析：当a0时,x{-a,a} |x|=a; 当a0时,x{-a,a} |x|=a. 11.方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是________________. 答案：0 解析：方程有两个同号且不相等的实根 解之即得0 . 12.已知p:|1- |2,q:x2-2x+1-m20),且 p是 q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 解法一：由x2-2x+1-m20得1-m1+m, :A={x|x1+m或x1-m,m0}. 由|1- |2得-210, :B={x|x-2或x10}. ∵ p是 q的必要而不充分条件, A B 解得m9. 解法二：∵ p是 q的必要而不充分条件, q是p的必要而不充分条件. p是q的充分而不必要条件. 由x2-2x+1-m20得1-m1+m(m0). q:Q={x|1-m1+m,m0}. 又由|1- |2得-210, p:P={x|-210}. ∵p是q的充分而不必要条件, P Q 解得m9. 13.已知a、b、c都是实数,证明ac0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件. 证明：(1)充分性: 若ac0,则=b2-4ac0,方程ax2+bx+c=0有两个相异的实根,设为x1、x2, ∵ac0,x1x2= 0,即x1、x2的符号相反,方程有一个正根和一个负根. (2)必要性: 若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,设为x1、x2,不妨设x10.则x1x2= 0,ac0. 由(1)(2)知ac0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件. 拓展应用 跳一跳，够得着！ 14.ax2+2x+1=0中至少有一个负实数根的充要条件是( ) A.01 B.a C.a D.0＜a1或a0 答案：C 解析：验证a=0和a=1都满足题意. 15.全集为U,在下列条件中,哪些是B A的充要条件? (1)A(2) A(3) A?(4)A B=U. 答案是(填序号)______________. 答案：(1)(2)(3)(4) 解析：作文氏图,利用图形的直观性可知:①④均是B A的充要条件. 16.求证:关于x的方程x2+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分但不必要条件是a2且|b|4. 证明：∵a2,|b|4,a2b. =4(a2-b)0. 方程x2+2ax+b=0有实根. 又∵ (x1-2)+(x2-2)=(x1+x2)-4=-2a-4-4-4=-80. 而(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=b+4a+4-4+8+4=80, 由以上知,“a2且|b|4”方程有实数根且两根均小于2. 再验证条件不必要:取x2-x=0的两根为x1=0,x2=1,则方程的两根均小于2,而a=- 2, “方程的两根小于2” “a2且|b|4”. 综上,a2且|b|4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件. | 
