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训练14 反函数的概念 基础巩固 站起来，拿得到！ 1.函数y= 的反函数是( ) A.y= (xR且x-4) B.y= (xR且x3) C.y= (xR且x D.y= (xR且x- ) 答案：C 解析：由y= ,得x= .故所求反函数为y= (xR且x3). 2.函数y= 的反函数是( ) A.y= B.y= C.y= D.y= 答案：A 解析：当x0时,由y=x2,得x=- .故反函数为y=f-1(x)=- (x0). 当x0时,由y=- x,得x=-2y. 故反函数为y=f-1(x)=-2x(x0). y=f-1(x)=-x,x0, -2x,x0. 3.若函数f(x)的反函数f-1(x)=1+x2(x0),则f(2)等于( ) A.1 B.-1 C.1和-1 D.5 答案：B 解法一:由y=1+x2(x0),得x=- .故f(x)=- (x0),f(2)=- =-1. 解法二:令1+x2=2(x0),则x=-1,即f(2)=-1. 4.若函数y=f(x)的反函数是y=- (-10),则原函数的定义域是( ) A.(-1,0) B.［-1,1］ C.［-1,0］ D.［0,1］ 答案：C 解析：∵原函数的定义域为反函数的值域, 又-10, 01,即y［-1,0］. 5.设y= +m和y=nx-9互为反函数,那么m、n的值分别是( ) A.-6,3 B.2,1 C.2,3 D.3,3 答案：D 解析：求出y= +m的反函数y=3x-3m,再与y=nx-9对比系数即得. 6.已知f(x)=x2-1(x2),则f-1(4)=______________. 答案： 解析：因为f(x)=x2-1,x2,所以其反函数为f-1(x)= (x3). 所以f-1(4)= . 7.求下列函数的反函数: (1)y=- (-1 (2)y=-x2-2x+1(1 (3)y= 解：(1)由y=- ,得y2=1-x2, 即x2=1-y2. ∵-10, x=- . 又∵y=- ,-10, -10. 所求反函数为y=- (-10). (2)由y=-x2-2x+1=-(x+1)2+2,得(x+1)2=2-y. ∵12, 23. x+1= ,即x=-1+ . 反函数为y=-1+ (-7-2). (3)①由y=x2(x0),得x=- ,即y=x2(x0)的反函数为y=- (x0). ②由y=-x-1(x0),得x=-y-1,即y=-x-1(x0)的反函数为y=-x-1(x-1). 由①②可知f(x)= 的反函数为f-1(x)= 能力提升 踮起脚,抓得住! 8.函数y=2|x|在下面的区间上,不存在反函数的是( ) A.［0,+］) B.(-,0)] C.［-4,4］ D.［2,4］ 答案：C 解法一:函数若在区间上单调,则存在反函数,易知函数y=2|x|在［0,+),(-,0］,［2,4］上单调. 解法二:当x=4时,y=8,知不是一一映射. 9.函数f(x)是增函数,它的反函数是f-1(x),若a=f(2)+f-1(2),b=f(3)+f-1(3),则下面结论中正确的是( ) A.a B.a=b C.a D.无法确定 答案：A 解析：∵f(x)是增函数,故其反函数f-1(x)也是增函数,f(3)f(2),f-1(3)f-1(2),即ba. 10.已知f(x)=3x-2,则f-1［f(x)］=__________________;f［f-1(x)］=__________________. 答案：x x 解析：∵f-1(x)= , f-1［f(x)］= ［(3x-2)+2］=x,f［f-1(x)］=3 -2=x. 一般地,f［f-1(x)］与f-1［f(x)］的表达式总为x,但两个函数定义域不一定相同,故不一定是同一个函数. 11.函数f(x)=ax2+(a+2)x-1在xR上存在反函数,则f-1(1)=_______________. 答案：1 解析：依题意a=0,f(x)=2x-1,令f-1(1)=b,则f(b)=1,即2b-1=1 b=1. 12.已知函数f(x)= (x ). (1)求它的反函数; (2)求使f-1(x)=f(x)的实数a的值; (3)当a=-1时,求f-1(2). 解：(1)设y= ,∵x-a,反解得(y-3)x=2-ay. 若y=3,则a= 与a 矛盾. y3.x= . f-1(x)= (x ). (2)当f-1(x)=f(x)时,有 , 整理得(a+3)x2+(a2-9)x-2(a+3)=0. a+3=0,即a=-3. (3)当a=-1时,由(1)知f-1(x)= . f-1(2)=-4. 13.已知f(x)=( )2(x1), (1)求f(x)的反函数f-1(x),并求出反函数的定义域; (2)判断并证明f-1(x)的单调性. 解：(1)设y=( )2 x= ,又x1, y1,即f-1(x)= ,f-1(x)的定义域为［0,1］. (2)f-1(x)在［0,1)上单调递增. 证明如下:设0x21,0 1. f-1(x1)-f-1(x2)= 0.f-1(x)在［0,1］上单调递增. 拓展应用 跳一跳,够得着! 14.要使函数y=x2-2ax+1在区间［1,2］上存在反函数,则a的取值范围是( ) A.a B.a C.a1或a D.12 答案：C 解析：由已知得函数y=x2-2ax+1在区间［1,2］上单调,则a1或a2. 15.已知函数y=f(x-1)的反函数为y=f-1(x-1),且f(1)=2,则f(2)的值为______________. 答案：1 解析：y=f-1(x-1) x-1=f(y) x=f(y)+1, 故y=f-1(x-1)的反函数为y=f(x)+1. 故f(x-1)=f(x)+1,即f(x)=f(x-1)-1, 则f(2)=f(1)-1=1. 16.(1)已知f(x)= (a、b、c是常数)的反函数是f-1(x)= ,求a+b+c的值. (2)设点P(-1,-2)既在函数f(x)=ax2+b(x0)的图象上,又在f(x)的反函数的图象上,求f-1(x). 解：(1)设y= ,解得x= , 即f-1(x)= , 因此, , 由对应项系数相等得a=3,b=5,c=-2, a+b+c=6. (2)点P(-1,-2)在f(x)=ax2+b上,则-2=a(-1)2+b, ① 又∵点P(-1,-2)在f-1(x)上, 点(-2,-1)在f(x)上. -1=a(-2)2+b. ② 由①②联立,解得a= ,b=- . f(x)= x2- (x0). f-1(x)=- (x- ). |
