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一、选择题 1．下列函数：①y＝3x2(xN＋)；②y＝5x(xN＋)；③y＝3x＋1(xN＋)；④y＝32x(xN＋)，其中正整数指数函数的个数为() A．0B．1C．2D．3 【解析】由正整数指数函数的定义知，只有②中的函数是正整数指数函数． 【答案】B 2．函数f(x)＝(14)x，xN＋，则f(2)等于() A．2 B．8 C．16 D.116 【解析】∵f(x)＝(14x)xN＋， f(2)＝(14)2＝116. 【答案】D 3．(2023阜阳检测)若正整数指数函数过点(2,4)，则它的解析式为() A．y＝(－2)x B．y＝2x C．y＝(12)x D．y＝(－12)x 【解析】设y＝ax(a＞0且a1)， 由4＝a2得a＝2. 【答案】B 4．正整数指数函数f(x)＝(a＋1)x是N＋上的减函数，则a的取值范围是() A．a B．－10 C．01 D．a－1 【解析】∵函数f(x)＝(a＋1)x是正整数指数函数，且f(x)为减函数， 0a＋11， －10. 【答案】B 5．由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低13，设现在的电脑价格为8 100元，则3年后的价格可降为() A．2 400元 B．2 700元 C．3 000元 D．3 600元 【解析】1年后价格为 8 100(1－13)＝8 20233＝5 400(元)， 2年后价格为 5 400(1－13)＝5 20233＝3 600(元)， 3年后价格为 3 600(1－13)＝3 20233＝2 400(元)． 【答案】A 二、填空题 6．已知正整数指数函数y＝(m2＋m＋1)(15)x(xN＋)，则m＝______. 【解析】由题意得m2＋m＋1＝1， 解得m＝0或m＝－1， 所以m的值是0或－1. 【答案】0或－1 7．比较下列数值的大小： (1)(2)3________(2)5； (2)(23)2________(23)4. 【解析】由正整数指数函数的单调性知， (2)3(2)5，(23)2(23)4. 【答案】(1)(2) 8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2023年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2023年的垃圾量为________吨． 【解析】由题意知，下一年的垃圾量为a(1＋b)，从2023年到2023年共经过了8年，故2023年的垃圾量为a(1＋b)8. 【答案】a(1＋b)a(1＋b)8 三、解答题 9．已知正整数指数函数f(x)＝(3m2－7m＋3)mx，xN＋是减函数，求实数m的值． 【解】由题意，得3m2－7m＋3＝1，解得m＝13或m＝2，又f(x)是减函数，则01，所以m＝13. 10．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)， (1)求函数f(x)的解析式； (2)求f(5)； (3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因． 【解】(1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a0，a1，xN＋)，因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(xN＋)． (2)f(5)＝35＝243. (3)∵f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增， f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3；f(x)无最大值． 11．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y＝f(t)． (1)写出函数y＝f(t)的定义域和值域； (2)在坐标系中画出y＝f(t)(06)的图像； (3)写出研究进行到n小时(n0，nZ)时，细菌的总个数(用关于n的式子表示)． 【解】(1)y＝f(t)的定义域为{t|t0}，值域为{y|y＝2m，mN＋)}； (2)06时，f(t)为一分段函数， y＝2，02，4，24，8，46. 图像如图所示． (3)n为偶数且n0时，y＝2n2＋1； n为奇数且n0时，y＝2n－12＋1. | 
