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高二数学双曲线苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 双曲线 二. 重点、难点： 重点：双曲线的定义、方程、几何性质．掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程． 难点：理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程． 三. 主要知识点 1、双曲线的定义： 平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距． 说明：双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点： （1）距离之差的绝对值. （2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同． 当|MF1|－|MF2|＝2a时，双曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|－|MF2|＝－2a时，双曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线； 当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在. 2、标准方程的推导 （1）建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的. 以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．设|F1F2|＝2c（c＞0），M（x，y）为双曲线上任意一点，则有F1（－c，0），F2（c，0）． （2）点的集合 由定义得出椭圆双曲线集合为：P＝{M||MF1－MF2|＝2a}. （3）代数方程 （4）化简方程 （其中c2＝a2+b2） 3、两种双曲线性质的比较 焦点在x轴上的双曲线 焦点在y轴上的双曲线 几何 条件 与两个定点的距离差的绝对值等于常数（小于这两个定点之间的距离） 标准 方程 － ＝1（a0，b0） － ＝1（a0，b0） 图形 范围 |x|a |y|a 对称性 x轴，y轴，原点 顶点 坐标 （a，0） （0，a） 实轴 虚轴 x轴，实轴长2a y轴，虚轴长2b y轴，实轴长2a x轴，虚轴长2b 焦点 坐标 （c，0）c＝ （0，c）c＝ 离心率 e＝ ， e 1 渐近线 y＝ x y＝ x 4、方法小结 （1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意： ①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏； ②已知渐近线的方程bxay＝0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝（0），根据其他条件确定的值.若求得＞0，则焦点在x轴上，若求得＜0，则焦点在y轴上． （2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错． （3）双曲线中有一个重要的Rt△OAB（如下图），它的三边长分别是a、b、c．易见c2＝a2+b2，若记AOB＝，则e＝ ＝ ． （4）参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2＝a2+b2；在方程Ax2+By2＝C中，只要AB＜0且C0，就是双曲线的方程． （5）给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是 ＝0，则可把双曲线方程表示为 － ＝（0），再根据已知条件确定的值，求出双曲线的方程． 【典型例题】 例1. 根据下列条件，求双曲线方程： （1）与双曲线 － ＝1有共同的渐近线，且过点（－3，2 ）； （2）与双曲线 － ＝1有公共焦点，且过点（3 ，2）. （3）求中心在原点，两对称轴为坐标轴，并且经过P（3， ）Q（ ，5）． 剖析：设双曲线方程为 － ＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程. 解法一：（1）设双曲线的方程为 － ＝1， 由题意得 解得a2＝ ，b2＝4． 所以双曲线的方程为 － ＝1． （2）设双曲线方程为 － ＝1. 由题意易求c＝2 ． 又双曲线过点（3 ，2）， － ＝1. 又∵a2+b2＝（2 ）2， a2＝12，b2＝8． 故所求双曲线的方程为 － ＝1． 解法二：（1）设所求双曲线方程为 － ＝（0）， 将点（－3，2 ）代入得＝ ， 所以双曲线方程为 － ＝ ． （2）设双曲线方程为 － ＝1， 将点（3 ，2）代入得k＝4，所以双曲线方程为 － ＝1． 评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程axby＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝（0）．与 － ＝1同焦点的可设为 － ＝1 （3）设双曲线方程为 （mn0） 将PQ两点坐标代入求得m＝－16，n＝－9. 故所求方程为 说明：若设 － ＝1或 － ＝1两种情况求解，比较繁琐． 例2. △ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，B（－1，0），C（1，0），求满足sinC－sinB＝ sinA时，顶点A的轨迹方程，并画出图形． 解：根据正弦定理得c－b＝ a＝1 即AB－AC＝1，所以点A的轨迹为双曲线 又c＝1，a＝ ，b＝c2－a2＝ 故双曲线方程为 （x ） 例3. （2023年全国，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围． 剖析：由|PM|－|PN|＝2m，得||PM|－|PN||＝2|m|．知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围. 解：设点P的坐标为（x，y），依题意得 ＝2，即y＝2x（x0）． ① 因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN | 
