|
高二数学异面直线所成角及距离人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 异面直线所成角及距离 二. 重点、难点： 1. 异面直线所成角定义。 异面直线 、 ，过空间一点O作 、 ，直线 ， 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 和 所成的角。 2. 异面直线所成角的计算。 （1）平移其中一条或两条使其相交。 （2）连接端点，使角在一个三角形中。 （3）计算三条边长，用余弦定理计算余弦值。 （4）若余弦值为负，则取其相反数。 3. 公垂线。 与两条异面直线均垂直、相交的直线叫两条异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线有且只有一条。 4. 两条直线垂直。 （1）相交垂直 （2）异面垂直 5. 6. 两条异面直线的公垂线段的长度，叫两条异面直线的距离。 【典型例题】 异面直线所成的角与距离： [例1] 正方体 棱长为 ，对角线 长为 。 ① 异面直线 与 所成的角。 ② 异面直线 与 的距离。 ③ 异面直线 与 所成的角。 ④ 异面直线 与 所成的角。 ⑤ M、N为 、 中点，MN与AC所成角。 ⑥ H为BC中点， 与 所成角。 解： ① 与 所成锐角即为两条异面直线所成的角 。 ② AB为两条异面直线的公垂线 距离为 ③ 为等边三角形 成角为 ④ 延长DC至E使CE=CD 中， ， ， 中，DE= ，AD= AE ，由余弦定理 ⑤ MN//BD 所成角为 ⑥ F为AD中点， ， 中， ， ， 所成角为 [例2] 四面体ABCD，棱长均为 （正四面体） ① 求异面直线AD、BC的距离。 ② 求AC、BD所成的角。 ③ E、F为BC、AD中点，求AE、CF所成角。 解： ① E、F为BC、AD中点，连AE、DE、BF、CF 中， F为等腰 底边中点 EFAD 同上EFBC E、F为AD、BC公垂线 ② H为CD中点 EH//BD EH= FH//AC 为两条异面直线AC、BD所成角 ③ K为DE中点，连FK，FK//AE CF与FK所夹锐角为异面直线AE、CF所成角 [例3] 正方体 中，E、F为AB、 中点，求 、 所成的角。 证：H在 上， M为 中点 HF与 所成角等于异面直线 、 所成的角 设棱长为 中， 、 所成角为 [例4] P为 所在平面外一点，E为PA中点，且 ， ， ， （ ）。求异面直线BE、PC的距离。 解：F为PC中点连EF EF为PC、BE公垂线 BE、PC距离为 【模拟试题】（答题时间：60分钟） 1. ， 、 与 、 均垂直，则 、 的关系为（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上均可能 2. 已知异面直线 、 成 角，P为空间一点，则过P且与 、 所成角均为 的直线有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 无数条 3. 空间直线 满足（1）与 异面；（2）与 成 角；（3）与 距离为10cm；则这样的 有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 4条 D. 无数条 4. 、 为异面直线， 为 、 的公垂线， ， 与 、 的关系为（ ） A. 均不相交 B. 与其中一条相交 C. 至少与一条相交 D. 至多与其中一条相交 5. 空间四边形ABCD棱长为 ，对角线也为 ，E为AD中点，AB与CE所成角为（ ） A. B. C. D. 【试题答案】 1. D 2. B 3. D 4. D 5. C | 
