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高二数学（理）利用导数求单调区间、极值人教实验版（A） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 利用导数求单调区间、极值 二. 重点、难点： 1. 在某区间（ ）内，若 0那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增，若 ，那么函数 在这个区间内单调递减。 2. ，在 ，则称 为 的极大值。 3. ， 在 ，则称 为 的极小值。 4. 极值是一个局部性质 5. 时， 是 为极值的既不充分也不必要条件。 【典型例题】 [例1] 求下列函数单调区间 （1） 解： （2） （3） 定义域为 （4） 解： [例2] 求满足条件的 的取值范围。 （1） 为R上的增函数 解： 时， 也成立 （2） 为R上增函数 成立 成立 （3） 为R上增函数 [例3] 证明下面各不等式 （1） 证：① 令 在 任取 即： ② 令 在（0，+ ）上 任取 即 （2） 令 [例4] 求下列函数的极值。 （1） 解： x=1 [例5] 在x=1处取得极值10，求 。 解： 或 （舍） [例6] 曲线 ，过P（1，1）在原点取得极小值。求此函数的极大值的最小值。 解：由已知 令 （－ ，－2） －2 （－2，0） － 0 + [例7] 已知 在区间[－1，1]上是增函数，求实数 的取值范围。 解： ∵ 在[－1，1]上是增函数 对 恒成立，即 对 恒成立 设 ，则 解得 [例8] 设 是R上的偶函数，（1）求 的值；（2）证明 在（0，+ ）上是增函数。 解：（1）依题意，对一切 ，有 ，即 即 ，所以对一切 恒成立 由于 不恒为0，所以 ，即 ，又因为 ，所以 （2）证明：由 ，得 当 时，有 ，此时 ，所以 在（0，+ ）内是增函数 [例9] 已知函数 的图象过点P（0，2），且在点M（－1， ）处的切线方程 ，（1）求函数 的解析式；（2）求函数 的单调区间。 解：（1）由 的图象经过P（0，2），知 ，所以 ， 由在点M（ ）处的切线方程为 即 解得 故所求的解析式是 （2） 令 ，解得 当 或 时， 当 时， 故 在 内是增函数，在 内是减函数 在 内是增函数 [例10] 已知函数 是R上的奇函数，当 时， 取得极值－2。（1）求 的单调区间和极大值。（2）证明对任意 ，不等式 恒成立。 解：（1）由奇函数定义，应有 ， 即 因此 由条件 为 的极值，必有 ，故 ，解得 因此， 当 时， ，故 在单调区间 上是增函数 当 时， ，故 在单调区间（－1，1）上是减函数 当 时， ，故 在单调区间（1， ）上是增函数 所以 在 处取得极大值，极大值为 （2）解：由（1）知， 是减函数，且 在[－1，1]上的最大值 在[－1，1]上的最小值 所以对任意 ，恒有 【模拟试题】 1. 两曲线 与 相切于点（1，－1）处，则 值分别为（ ） A. 0，2 B. 1，－3 C. －1，1 D. －1，－1 2. 设函数 ，则 （ ） A. 在（－ ，+ ）单调增加 B. 在（－ ，+ ）单调减少 C. 在（－1，1）单调减少，其余区间单调增加 D. 在（－1，1）单调增加，其余区间单调减少 3. 当 时，有不等式（ ） A. B. C. 当 时， ，当 时， D. 当 时， ，当 时， 4. 若连续函数在闭区间上有惟一的极大值和极小值，则（ ） A. 极大值一定是最大值，极小值一定是最小值 B. 极大值必大于极小值 C. 极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值 D. 极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值 5. 设 在 可导，则 等于（ ） A. B. C. D. 6. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数 有极值的充要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 设 、 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当 时， ，且 ，则不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 设函数 的图象如图所示，且与 在原点相切，若函数的极小值为－4，（1）求 的值；（2）求函数的递减区间。 10. 是否存在这样的k值，使函数 在（1，2）上递减，在（2，－ ）上递增。 11. 设函数 （1）若导数 ；并证明 有两个不同的极值点 ； （2）若不等式 成立，求 的取值范围。 12. 已知过函数 的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。 （1）求 的值； （2）求A的取值范围，使不等式 对于 恒成立。令 = ，是否存在一个实数 ，使得当 时， 有最大值1？ 【试题答案】 1. D 2. C 3. B 4. D 5. D 6. D 7. C 8. D 9. 解析：（1）函数的图象经过（0，0）点 ，又图象与x轴相切于（0，0）点， ，得 ， 当 时， ，当 时， 当 时，函数有极小值－4 ，得 （2） ，解得 递减区间是（0，2） 10. 解析： ，由题意，当 时， 当 时， 由函数 的连续性可知 即 得 或 验证：当 时， 若 ， ，若 ，符合题意 当 时， 显然不合题意，综上所述，存在 ，满足题意 11. 解：（1） 令 得方程 因 ，故方程有两个不同实根 不妨设 ，由 可判断 的符号如下： 当 时， ；当 时， ；当 时， 因此 是极大值点， 是极小值点 （2）因 ，故得不等式 即 又由（1）知 代入前面不等式，两边除以 ，并化简得 解不等式得 或 （舍去） 因此，当 时，不等式 0成立 12. 解：（1） ，依题意得 ，把B（1，b）代入得 （2）令 得 或 ∵ 要使 对于 恒成立，则 的最大值 （1）已知 ∵ ① 当 时， ，即 在 上为增函数 的最大值 ，得 （不合题意，舍去） ② 当 ， ，令 ，得 列表如下： （0， ） + 0 － 极大值 在 处取最大值 ③ 当 时， 在 上为减函数 在 上为增函数 存在一个 ，使 在 上有最大值1。 | 
