高二数学函数的单调性与函数的奇偶性苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 函数的单调性与函数的奇偶性 二. 教学目标: (1)理解函数单调性的定义,会用函数单调性解决一些问题。 (2)掌握函数的奇偶性的定义及图象特征,并能判断和证明函数的奇偶性,能利用函数的奇偶性解决问题。 三. 教学重点: 函数单调性的判断和函数单调性的应用。函数奇偶性的定义及应用。 四. 教学难点: 函数单调性与奇偶性的运用。 五. 知识归纳: (一)概念 1. 函数单调性的定义:对于函数 的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值 ,⑴若当 时,都有 ,则说 在这个区间上是增函数;⑵若当 时,都有 ,则说 在这个区间上是减函数. 2. 函数奇偶性的定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数。 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)= f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。 3. 奇偶函数的性质: (1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 轴对称,奇函数的图象关于原点对称; 4. 为偶函数 . 5. 若奇函数 的定义域包含 ,则 . (二)主要方法: 1. 讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集; 2. 判断函数的单调性的方法有: (1)用定义; (2)用已知函数的单调性; (3)利用函数的导数. 3. 注意函数单调性的应用; 4. 判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响; 5. 牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性; 6. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: , 。 7. 设 , 的定义域分别是 ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇 奇=偶偶+偶=偶,偶 偶=偶,奇 偶=奇. 【典型例题】 例1. 判断下列各函数的奇偶性: (1) ; (2) ; (3) . 解:(1)由 ,得定义域为 ,关于原点不对称 为非奇非偶函数。 (2)由 得定义域为 ∵ 为偶函数 (3)当 时, ,则 , 当 时, ,则 , 综上所述,对任意的 ,都有 , 为奇函数. 例2. (1)求函数 的单调区间; (2)已知 若 试确定 的单调区间和单调性. 解:(1)单调增区间为: 单调减区间为 , (2) , , 令 ,得 或 ,令 , 或 单调增区间为 ;单调减区间为 例3. 已知函数 对一切 ,都有 (1)求证: 是奇函数; (2)若 ,用 表示 。 解:(1)显然 的定义域是 ,它关于原点对称。在 中, 令 ,得 ,令 ,得 , ,即 是奇函数. (2)由 , 及 是奇函数, 得 。 例4. (1)已知 是 上的奇函数,且当 时, ,则 的解析式为 。 (2)(《高考 计划》考点3“智能训练第4题”)已知 是偶函数, ,当 时, 为增函数,若 ,且 ,则 ( ) . . . . 例5. 设 , 是 上的偶函数。 (1)求 的值; (2)证明 在 上为增函数。 解:(1)依题意,对一切 ,有 即 对一切 成立,则 ∵ , 。 (2)设 ,则 , 由 得 , 即 , 在 上为增函数。 例6. 已知函数 的定义域是 的一切实数,对定义域内的任意 都有 ,且当 时 。 (1)求证: 是偶函数; (2) 在 上是增函数; (3)解不等式 。 解:(1)令 ,得 ,令 ,得 , 是偶函数。 (2)设 则 ∵ , , 即 , 在 上是增函数。 (3) , ∵ 是偶函数,不等式 可化为 又∵函数在 上是增函数 解得: , 即不等式的解集为 。 例7. 函数 在 上是增函数,求 的取值范围。 分析:由函数 在 上是增函数可以得到两个信息: ①对任意的 总有 ; ②当 时, 恒成立。 解:∵函数 在 上是增函数 对任意的 有 即 得 即 ∵ , , ∵ ,要使 恒成立,只要 ; 又∵函数 在 上是增函数, , 即 ,综上 的取值范围为 . 另解:(用导数求解)令 ,函数 在 上是增函数 在 上是增函数, , ,且 在 上恒成立,得 。 例8. 设 为实数,函数 , 。 (1)讨论 的奇偶性; (2)求 的最小值。 解:(1)当 时, ,此时 为偶函数; 当 时, , 此时函数 既不是奇函数也不是偶函数. (2)①当 时,函数 , 若 ,则函数 在 上单调递减 函数 在 上的最小值为 ; 若 ,函数 在 上的最小值为 ,且 . ②当 时,函数 , 若 ,则函数 在 上的最小值为 ,且 ; 若 ,则函数 在 上单调递增 函数 在 上的最小值为 综上,当 时,函数 的最小值是 ,当 时,函数 的最小值是 ,当 ,函数 的最小值是 。 【模拟试题】 1. 下面四个结论:①偶函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数的图象关于y轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR),其中正确命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 函数F(x)=(1+2/(2x-1))f(x)(x0)是偶函数,且f(x)不恒等于零,则f(x)( ) A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 既是奇函数,又是偶函数 D. 非奇非偶函数 3. 已知函数f(x)=x2+lg(x+ ),若f(a)=M,则f(-a)等于( ) A. M-2a2 B. 2a2-M C. 2M-a2 D. a2-2M 4. 若对正常数m和任意实数x,等式 成立,则下列说法正确的是( ) A. 函数 是周期函数,最小正周期为2m B. 函数 是奇函数,但不是周期函数 C. 函数 是周期函数,最小正周期为4 m D. 函数 是偶函数,但不是周期函数 5. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,它在 上递减,那么一定有( ) A. B. C. D. 6. 已知y=f(x)是偶函数,且在 上是减函数,则f(1-x2)是增函数的区间是( ) A. B. C. D. 7. 函数y=loga|x+1|在(-1,0)上单调递减,则y在(-,-1)上是( ) A. 由负到正单调递增 B. 由正到负单调递减 C. 单调递减且恒为正数 D. 时增时减 8. 设函数f(x)= (a0),求a的取值范围,使函数f(x)在区间[0,+)上是单调函数。 9. 函数y= 的递减区间是 10. 函数y=lncos( )的递减区间是 11. 函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围是 12. 设奇函数f(x)在[0,+)上是增函数,若对于任意实数x,不等式f(kx)+f(x-x2-2)0恒成立,求实数k的取值范围。 13. 已知函数 是定义在 上的周期函数,周期 ,函数 是奇函数 又知 在 上是一次函数,在 上是二次函数,且在 时函数取得最小值 。 ①证明: ; ②求 的解析式; ③求 在 上的解析式。 14. 甲乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(单位:千米/小时)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元。 (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 【试题答案】 1. A 2. A 3. B 4. C 5. B 6. D 7. A 8. 当a1时,f(x)递减; 当01时,存在两点x1=0,x2=2a/(1-a2) ,f(x1)=f(x2)=1,故无单调性。 9. (-,-3) 10. [6kp-3p/4,6kp+3p/4] kZ 11. (1,2) 12. -2 -12 -1 13. 解:∵ 是以 为周期的周期函数 , 又∵ 是奇函数, , ②当 时,由题意可设 , 由 得 , , ③∵ 是奇函数, , 又知 在 上是一次函数 可设 ,而 , ,当 时, , 从而当 时, ,故 时, 当 时,有 , 当 时, , 14. 解:(1)由已知汽车从甲地到乙地所用时间为 全程运输成本为 故所求函数及其定义域为 (2)依题意S,a,b,v都是正数,故有 由于v v >0,v -v >0,并且 又S>0,所以 即 则当v=c时,y取最小值 |