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解析几何解答题 1、椭圆G： 的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 （1）求此时椭圆G的方程； （2）设斜率为k（k0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0， ）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由． 解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心 …………………1分 故该椭圆中 即椭圆方程可为 ………3分 设H（x,y）为椭圆上一点，则 …………… 4分 若 ，则 有最大值 …………………5分 由 （舍去）(或b2+3b+927,故无解)…………… 6分 若 …………………7分 由 所求椭圆方程为 ………………… 8分 （1） 设 ，则由 两式相减得 ……③又直线PQ直线m直线PQ方程为 将点Q（ ）代入上式得， ……④…………………11分 由③④得Q（ ）…………………12分 而Q点必在椭圆内部 ， 由此得 ,故当 时，E、F两点关于点P、Q的直线对称14分 2、已知双曲线 的左、右顶点分别为 ，动直线 与圆 相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为 . （Ⅰ）求 的取值范围，并求 的最小值； （Ⅱ）记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，那么， 是定值吗？证明你的结论. 解：（Ⅰ） 与圆相切, ……① 由 ,得 , , ,故 的取值范围为 . 由于 ， 当 时， 取最小值 .6分 （Ⅱ）由已知可得 的坐标分别为 ， ， ， 由①，得 ， 为定值.12分 3、已知抛物线 的焦点为F，点 为直线 与抛物线 准线的交点，直线 与抛物线 相交于 、 两点，点A关于 轴的对称点为D． （1）求抛物线 的方程。 （2）证明：点 在直线 上； （3）设 ，求 的面积。． 解：（1） 设 ， ， ， 的方程为 ． （2）将 代人 并整理得 ， 从而 直线 的方程为 ， 即 令 所以点 在直线 上 （3）由①知， 因为 ， 故 ，解得 所以 的方程为 又由①知 故 4、已知椭圆的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，点 （2，3）、 在该椭圆上，线段 的中点 在直线 上，且 三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线 的斜率； (Ⅱ)求 面积的最大值． 解：（I）设椭圆的方程为 ， 则 ，得 ， . 所以椭圆的方程为 .…………………3分 设直线AB的方程为 (依题意可知直线的斜率存在)， 设 ，则由 ，得 ,由 ，得 ， ，设 ,易知 ， 由OT与OP斜率相等可得 ，即 ， 所以椭圆的方程为 ，直线AB的斜率为 .……………………6分 （II）设直线AB的方程为 ，即 ， 由 得 ， ， .………………8分 . ． 点P到直线AB的距离为 . 于是 的面积为 ……………………10分 设 ， ，其中 . 在区间 内， ， 是减函数；在区间 内， ， 是增函数.所以 的最大值为 .于是 的最大值为18.…………………12分 5、设椭圆 的焦点分别为 、 ，直线 ： 交 轴于点 ，且 ． （Ⅰ）试求椭圆的方程； （Ⅱ）过 、 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 、 、 、 四点（如图所示），若四边形 的面积为 ，求 的直线方程． 解：（Ⅰ）由题意， -------1分 为 的中点------------2分 即：椭圆方程为 ------------3分 （Ⅱ）当直线 与 轴垂直时， ，此时 ， 四边形 的面积 不符合题意故舍掉；------------4分 同理当 与 轴垂直时，也有四边形 的面积 不符合题意故舍掉；------------5分 当直线 ， 均与 轴不垂直时，设 : ， 代入消去 得： ------------6分 设 ------------7分 所以 ，------------8分 所以 ，------------9分 同理 ------------11分 所以四边形的面积 由 ，------------12分 所以直线 或 或 或 ---------13分 6、已知抛物线P：x2=2py(p0)． （Ⅰ）若抛物线上点 到焦点F的距离为 ． （ⅰ）求抛物线 的方程； （ⅱ）设抛物线 的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线 的切线，求此切线方程； （Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接 ， 并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F． 解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点 到焦点F的距离与到准线距离相等，即 到 的距离为3； ，解得 ． 抛物线 的方程为 ．4分 （ⅱ）抛物线焦点 ，抛物线准线与y轴交点为 ， 显然过点 的抛物线的切线斜率存在，设为 ，切线方程为 ． 由 ，消y得 ，6分 ，解得 ．7分 切线方程为 ．8分 （Ⅱ）直线 的斜率显然存在，设 ： ， 设 ， ， 由 消y得 ．且 ． ， ； ∵ ，直线 ： ， 与 联立可得 ，同理得 ．10分 ∵焦点 ， ， ，12分 以 为直径的圆过焦点 ．14分 7、在平面直角坐标系 中，设点 ，以线段 为直径的圆经过原点 . （Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）过点 的直线 与轨迹 交于两点 ，点 关于 轴的对称点为 ，试判断直线 是否恒过一定点，并证明你的结论. 解：（I）由题意可得 ，2分 所以 ，即 4分 即 ，即动点 的轨迹 的方程为 5分 （II）设直线 的方程为 , ，则 . 由 消 整理得 ，6分 则 ，即 .7分 .9分 直线 12分 即 所以，直线 恒过定点 .13分 8、已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点，且以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ， 求 面积的最大值． 解：（Ⅰ）因为椭圆 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 ， 所以 ，1分 又椭圆的离心率为 ，即 ，所以 ，2分 所以 ， .4分 所以 ，椭圆 的方程为 .5分 （Ⅱ）方法一：不妨设 的方程 ，则 的方程为 . 由 得 ，6分 设 ， ，因为 ，所以 ，7分 同理可得 ，8分 所以 ， ，10分 ，12分 设 ，则 ，13分 当且仅当 时取等号，所以 面积的最大值为 .14分 方法二：不妨设直线 的方程 . 由 消去 得 ，6分 设 ， ， 则有 ， .①7分 因为以 为直径的圆过点 ，所以 . 由 ， 得 .8分 将 代入上式， 得 . 将①代入上式，解得 或 （舍）.10分 所以 （此时直线 经过定点 ，与椭圆有两个交点）， 所以 .12分 设 ， 则 . 所以当 时， 取得最大值 .14分 9、过抛物线C: 上一点 作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点。 （1）求证：直线AB的斜率为定值； （2）已知 两点均在抛物线 ： 上，若△ 的面积的最大值为6，求抛物线的方程。 解：（1）不妨设 …………………………………5分 （2）AB的直线方程为： 点M到AB的距离 。………………………………………7分 ………9分 又由 且 ………………………11分 设 为偶函数，故只需考虑 ， 所以 上递增， 当 时， 。故所求抛物线的方程为 ……………………13分 10、已知椭圆 的左焦点 是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线 交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为 （1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线 轴时，求 的值； （2）求 的值。 （Ⅰ）解：由题意椭圆的离心率 ， ，所以 ， 故椭圆方程为 ，┄┄┄┄┄┄3分 则直线 ， ， 故 或 ， 当点 在 轴上方时， ， 所以 ， 当点 在 轴下方时，同理可求得 ， 综上， 为所求．┄┄┄┄┄┄6分 (Ⅱ)解：因为 ，所以 ， ， 椭圆方程为 , ,直线 ， 设 ， 由 消 得， ， 所以 ┄┄┄┄┄┄8分 故 ① 由 ，及 ，┄┄9分 得 ， 将①代入上式得 ，┄┄10分 注意到 ，得 ，┄┄11分 所以 为所求．┄┄┄┄┄┄12分 11、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 (a＞b＞0)的离心率为 ，其焦点在圆x2+y2=1上． (1)求椭圆的方程； (2)设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角，使 ． (i)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值； (ii)求OA2+OB2． 解：(1)依题意，得c=1．于是，a= ，b=1．…………………2分 所以所求椭圆的方程为 ．………………………………4分 (2)(i)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①， ②． 又设M(x，y)，因 ，故 ……7分 因M在椭圆上，故 ． 整理得 ． 将①②代入上式，并注意 ，得 ． 所以， 为定值．………………………………10分 (ii) ，故 ． 又 ，故 ． 所以，OA2+OB2= =3．………………………16分 12、已知圆 的圆心为 ，一动圆与圆 内切，与圆 外切。 （Ⅰ）求动圆圆心 的轨迹方程； （Ⅱ）（Ⅰ）中轨迹上是否存在一点 ，使得 为钝角？若存在，求出 点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 解:（Ⅰ）设动圆P的半径为r,则 两式相加得|PM|+|PN|=4|MN| 由椭圆定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为 ，实轴长为4的椭圆 其方程为 …………6分 （Ⅱ）假设存在，设 （x,y）.则因为 为钝角，所以 ， ， 又因为 点在椭圆上，所以 联立两式得： 化简得： ， 解得： ，所以存在。……13分 13、已知点 是椭圆 的右焦点，点 、 分别是 轴、 轴上的动点，且满足 ．若点 满足 ． (Ⅰ)求点 的轨迹 的方程； (Ⅱ)设过点 任作一直线与点 的轨迹交于 、 两点，直线 、 与直线 分别交于点 、 （ 为坐标原点），试判断 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 解：(Ⅰ) 椭圆 右焦点 的坐标为 ，………(1分) ． ， 由 ，得 ．…………(2分) 设点 的坐标为 ，由 ，有 ， 代入 ，得 ．………(4分) （Ⅱ）解法一：设直线 的方程为 ， 、 ， 则 ， ．…………(5分) 由 ，得 ，同理得 ．…………(7分) ， ，则 ．……(8分) 由 ，得 ， ．………(9分) 则 ．……………(11分) 因此， 的值是定值，且定值为 ．………(12分) 解法二：①当 时， 、 ，则 ， ． 由 得点 的坐标为 ，则 ． 由 得点 的坐标为 ，则 ． ．……………(6分) ②当 不垂直 轴时，设直线 的方程为 ， 、 ，同解法一，得 ．…(8分) 由 ，得 ， ．…………(9分) 则 ．…………(11分) 因此， 的值是定值，且定值为 ．…………(12分) 14、在平面直角坐标系 中，已知圆B： 与点 ，P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C。 （1）求曲线C的方程； （2）曲线C与 轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与 轴重合的直线与曲线C的交点记为M，N，连结QM，QN，分别交直线 为常数，且 ）于点E，F，设E，F的纵坐标分别为 ，求 的值（用 表示）。 解：(1)连接 ，由题意得， ， ， 所以 ，…………………………………………………2分 由椭圆定义得，点 的轨迹方程是 .……………………………4分 (2)设 ，则 ， 的斜率分别为 ， 则 ， ，……………………………………………6分 所以直线 的方程为 ，直线 的方程 ，8分 令 ，则 ，……………………10分 又因为 在椭圆 ，所以 ， 所以 ，其中 为常数.…14分 | 
