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散型随机变量的均值与方差习题课 一、选择题 1．已知随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则E(X)和D(X)分别等于() A．1和0 B．1和1.8 C．2和2 D．2和0.8 [答案]D [解析]E(X)＝10.4＋20.2＋30.4＝2 D(X)＝(2－1)20.4＋(2－2)20.2＋(2－3)20.4＝0.8. 2．已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 715 715 115 且＝2X＋3，且E()等于() A.35 B.65 C.215 D.125 [答案]C [解析]∵E(X)＝2023＋2023＋2023＝35， E()＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝215. 3．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为() A．0.4 B．1.2 C．0.43 D．0.6 [答案]B [解析]∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，E(X)＝30.4＝1.2＝65. 4．已知X的分布列为 X 1 2 3 4 P 14 13 16 14 则D(X)的值为() A.2023 B.202344 C.202344 D.2023 [答案]C [解析]∵E(X)＝114＋213＋316＋414＝2023，E(X2)＝2023＋2023＋2023＋2023＝2023，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝202344. 5．已知X的分布列为 X －1 0 1 P 12 13 16 若＝2X＋2，则D()的值为() A．－13 B.59 C.109 D.209 [答案]D [解析]E(X)＝－112＋013＋116＝－13，D(X)＝－1＋20232＋0＋20233＋1＋20236＝59， D()＝D(2X＋2)＝4D(X)＝459＝209. 6．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为() A.65 B.2023 C.625 D.20235 [答案]B [解析]由X～B3，25，D(X)＝20235＝2023. 7．已知X服从二项分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96，则二项分布的参数n、p的值为() A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4 C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1 [答案]B [解析]由E(3X＋2)＝3E(X)＋2，D(3X＋2)＝9D(X)，及X～ B(n，p)时E(X)＝np.D(X)＝np(1－p)可知 3np＋2＝9.29np(1－p)＝12.96n＝6p＝0.4 8．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有() A．s3s2 B．s2s3 C．s1s3 D．s2s1 [答案]B [解析]计算可得甲、乙、丙的平均成绩为8.5. s1＝ 120[5(7－8.5)2＋5(8－8.5)2＋5(9－8.5)2＋5(10－8.5)2] ＝2023.同理，s2＝2023，s3＝2023， s2s3，故选B. 二、填空题 9．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于________． [答案]0.196 [解析]由题意知，随机变量服从二项分布，所以D(X)＝npq＝100.02(1－0.02)＝0.196. 10．(2023福州)设有m升水，其中含有n个大肠杆菌，今任取1升水检验，设其中含大肠杆菌的个数为X，则E(X)＝________. [答案]nm [解析]设A＝“在所取的1升水中含有一个大肠杆菌”，则P(A)＝1m， P(X＝k)＝Pn(k)＝Ckn(1m)k(1－1m)n－k(k＝0,1,2,3，…，n)，X～B(n，1m)． 则E(X)＝n1m＝nm. 11．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________． [答案]48 [解析]设小王选对个数为X，得分为＝5X， 则X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝120.8＝9.6， E()＝E(5X)＝5E(X)＝59.6＝48. 12．若X的分布列如下表： X 1 2 3 4 P 14 14 14 14 则D14X＝________. [答案]564 [解析]E(X)＝14(1＋2＋3＋4)＝52， D(X)＝1－522＋2－522＋3－522＋4－522 14＝54， D14X＝116D(X)＝564. 三、解答题 13．一名工人要看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.9，第二台是0.8，第三台是0.85，求在一小时的过程中不需要工人照顾的机床的台数X的数学期望(均值)． [解析]由题意，可知X的所有可能的值为0,1,2,3，记事件A为第一台机床不需照顾；事件B为第二台机床不需照顾，事件C为第三台机床不需照顾，由独立事件和互斥事件的概率公式可知，P(X＝0)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.10.20.15＝0.003， P(X＝1)＝P(ABC＋ABC＋ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.056， 同上可得P(X＝2)＝0.329，P(X＝3)＝0.612， 所以E(X)＝00.003＋10.056＋20.329＋30.612＝2.55台． 14．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设． (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； (2)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及均值． [解析]考查离散型随机变量的概率分布和数学期望． 解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3. 由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝12，P(Bj)＝13， P(Ck)＝16. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率为： P＝3！P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3) ＝2023316＝16. (2)解法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知～B3，13，且＝3－. 所以P(＝0)＝P(＝3)＝C20233＝127， P(＝1)＝P(＝2)＝C2023223＝29， P(＝2)＝P(＝1)＝C2023232＝49， P(＝3)＝P(＝0)＝C20233＝827. 故的分布列为 0 1 2 3 P 127 29 49 827 的均值E()＝2023＋129＋249＋2023＝2. 解法二：由题设条件知，基础设施工程和产业建设工程这两类项目的个数占总数的12＋16＝23. 3名工人独立地从中任选一个项目，故每人选到这两类项目的概率都是23，故～B3，23. 即：P(＝k)＝Ck323k133－k，k＝0,1,2,3. 0 1 2 3 P 127 29 49 827 的均值E()＝323＝2. 15．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，表示所取球的标号． (1)求的分布列、均值和方差； (2)若＝a＋b，E()＝1，D()＝11，试求a，b的值． [解析](1)的分布列为： 0 1 2 3 4 P 12 120 110 320 15 E()＝012＋2023＋2023＋2023＋415 ＝1.5. D()＝(0－1.5)212＋(1－1.5)2023＋(2－1.5)2023＋(3－1.5)2023＋(4－1.5)215 ＝2.75. (2)由D()＝a2D()，得a22.75＝11，即a＝2.又E()＝aE()＋b，所以当a＝2时，由1＝21.5＋b，得b＝－2； 当a＝－2时，由1＝－21.5＋b，得b＝4， a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4即为所求． 16．(2023湖南理，17)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图． (1)求直方图中x的值； (2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望(均值)． [分析](1)由频率和为1，列式求出x的值；(2)从图中知用水为3至4吨的概率为0.1，又本抽样为有放回抽样，故符合X～B(3,0,1)，其中X＝0,1,2,3.列出分布列并求出数学期望(均值)． [解析](1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12. (2)由题意知，X～B(3,0.1)． 因此P(X＝0)＝C030.93＝0.729， P(X＝1)＝C130.10.92＝0.243， P(X＝2)＝C230.120.9＝0.027， P(X＝3)＝C330.13＝0.001. 故随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 X的数学期望为E(X)＝30.1＝0.3. [点评]本题通过频率分布直方图，将统计知识与概率结合起来．考查了二项分布，离散型随机变量的分布列与数学期望(均值)． | 
