|
第二课时 离散型随机变量的分布列2 一、选择题 1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是() A. 1 0 1 P 14 12 14 B. 0 1 2 P －14 34 12 C. 0 1 2 P 15 25 35 D. －1 0 1 P 14 14 12 [答案]D [解析]本题考查分布列的概念与性质． 即的取值应互不相同且P(0，i＝1,2，…，n， i＝1nP(i)＝1. A中的取值出现了重复性；B中P(＝0)＝－140， C中i＝13P(i)＝15＋25＋35＝651. 2．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为，则下列概率中等于C18C16＋C14C16C112C112的是() A．P(＝0) B．P(2) C．P(＝1) D．P(＝2) [答案]C [解析]即取出白球个数为1的概率． 3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1、2、…，则P(2＜X4)＝() A.316 B.14 C.116 D.516 [答案]A [解析]P(2＜X4)＝P(X＝3)＋P(X＝4) ＝123＋124＝316. 4．随机变量的概率分布列为P(＝k)＝ck(k＋1)，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P12＜＜52则值为() A.23 B.34 C.45 D.56 [答案]D [解析]c12＋c23＋c34＋c45 ＝c1－12＋12－13＋13－14＋14－15 ＝45c＝1.c＝54. P12＜＜52＝P(＝1)＋P(＝2) ＝20232＋123＝56. 5．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分；④表示取出的黑球个数． 这四种变量中服从超几何分布的是() A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ [答案]B [解析]依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法． 6．(2023东营)已知随机变量的分布列为P(＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(＝2)＝() A.19 B.16 C.13 D.14 [答案]C [解析]由离散型随机变量分布列的性质知12a＋22a＋32a＝1，62a＝1，即a＝3， P(＝2)＝1a＝13. 7．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是() A.2023 B.724 C.710 D.37 [答案]B [解析]P＝C37C03C310＝724. 8．用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，这些数能被2整除的概率是() A.15 B.14 C.25 D.35 [答案]C [解析]P＝2A44A55＝25. 二、填空题 9．从装有3个红球、3个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为： 0 1 2 P [答案]202315 10．随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 5 P 19 215 745 845 15 29 则为奇数的概率为________． [答案]815 11．(2023常州)从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，则在选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率是______． [答案]56 12．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量，则P(＞1)＝________. [答案]12 [解析]依题意，P(＝1)＝2P(＝2)，P(＝3)＝12P(＝2)，P(＝3)＝P(＝4)，由分布列性质得 1＝P(＝1)＋P(＝2)＋P(＝3)＋P(＝4) 4P(＝2)＝1，P(＝2)＝14.P(＝3)＝18. P(＞1)＝P(＝2)＋P(＝3)＋P(＝4)＝12. 三、解答题 13．箱中装有50个苹果，其中有40个合格品，10个是次品，从箱子中任意抽取10个苹果，其中的次品数为随机变量，求的分布列． [解析]可能取的值为0、1、2、…、10.由题意知P(＝m) ＝Cm10C10－m40C2023(m＝0、1、2、…、10)，的分布列为 0 1 … k … 10 P C010C2023C2023 C110C940C2023 … Ck10C10－k40C2023 … C2023C040C2023 14.设随机变量X的分布列PX＝k5＝ak，(k＝1、2、3、4、5)． (1)求常数a的值； (2)求P(X)35； (3)求P110＜X＜710. [分析]分布列有两条重要的性质：Pi0，i＝1、2、…；P1＋P2＋…＋Pn＝1利用这两条性质可求a的值．(2)(3)由于X的可能取值为15、25、35、45、1.所以满足X35或202310的X值，只能是在15、25、35、45、1中选取，且它们之间在一次试验中相互独立，只要求得满足条件的各概率之和即可． [解析](1)由a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，得a＝115. (2)因为分布列为PX＝k5＝115k (k＝1、2、3、4、5) 解法一：PX35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝315＋415＋515＝45； 解法二：PX35＝1－PX＝15＋PX＝25 ＝1－115＋215＝45. (3)因为110＜X＜710，只有X＝15、25、35时满足，故 P110＜X＜710＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35 ＝115＋215＋315＝25. 15．(2023福建)盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求： (1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； (2)随机变量的概率分布． [解析](1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23. (2)由题意可能的取值为2,3,4,5， P(＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130， P(＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215， P(＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310， P(＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815. 所以随机变量的概率分布为： 2 3 4 5 P 130 215 310 815 16.(2023福建理，16)设S是不等式x2－x－60的解集，整数m，nS. (1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件； (2)设＝m2，求的分布列． [解析]本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想． 解题思路是先解一元二次不等式，再在此条件下求出所有的整数解．解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列，注意随机变量的转换． (1)由x2－x－60得－23， 即S＝{x|－23}． 由于m，nZ，m，nS且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为： (－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以＝m2的所有不同取值为0,1,4,9. 且有P(＝0)＝16，P(＝1)＝26＝13，P(＝4)＝26＝13，P(＝9)＝16. 故的分布列为： 0 1 4 9 P 16 13 13 | 
