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选修2-3 1.2.2第三课时 排列与组合习题课 一、选择题 1．(2023山东潍坊)6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为() A．40 B．50 C．60 D．70 [答案]B [解析]先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为252＝50，故选B. 2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有() A．36种 B．48种 C．72种 D．96种 [答案]C [解析]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C. 3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有() A．6个 B．9个 C．18个 D．36个 [答案]C [解析]注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即2023,2023,2023，而每种选择有A22C23＝6(种)排法，所以共有36＝18(种)情况，即这样的四位数有18个． 4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有() A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人 [答案]A [解析]设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2nC18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人． 5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有() A．45种 B．36种 C．28种 D．25种 [答案]C [解析]因为108的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法． 6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有() A．24种 B．36种 C．38种 D．108种 [答案]B [解析]本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)． 7．组合数Crn(n1，n，rZ)恒等于() A.r＋1n＋1Cr－1n－1 B．(n＋1)(r＋1)Cr－1n－1 C．nrCr－1n－1 D.nrCr－1n－1 [答案]D [解析]∵Crn＝n！r！(n－r)！＝ n(n－1)！r(r－1)！[(n－1)－(r－1)]！＝nrCr－1n－1，故选D. 8．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为() A．33 B．34 C．35 D．36 [答案]A [解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12A33＝12个； ②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12A33＋A33＝18个； ③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个． 故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A. 9．(2023四川理，10)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A．72 B．96 C．108 D．144 [答案]C [解析]分两类：若1与3相邻，有A22C13A22A23＝72(个)， 若1与3不相邻有A33A33＝36(个) 故共有72＋36＝108个． 10．(2023北京模拟)如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有() A．50种 B．60种 C．120种 D．210种 [答案]C [解析]先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16A25＝120种，故选C. 二、填空题 11．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答) [答案]2023 [解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，所以共有20230＝2023(种)安排方法． 12．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答) [答案]2023 [解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49C25C33＝2023(种)排法． 13．(2023江西理，14)将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)． [答案]2023 [解析]先将6名志愿者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A44种分法，故所有分配方案有：C26C24A22A44＝1 080种． 14．(2023山东济宁)要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)． [答案]72 [解析]5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，有432(12＋11)＝72种． 三、解答题 15．(1)计算C20230＋C202300； (2)求20C5n＋5＝4(n＋4)Cn－1n＋3＋15A2n＋3中n的值． [解析](1)C20230＋C202300＝C2023＋C2023＝202392＋200＝2023＋200＝2023. (2)20(n＋5)！5！n！＝4(n＋4)(n＋3)！(n－1)！4！＋15(n＋3)(n＋2)，即(n＋5)(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)6＝(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)n6＋15(n＋3)(n＋2)，所以(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90.所以n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7.注意到n1且nZ，所以n＝2. [点拨]在(1)中应用组合数性质使问题简化，若直接应用公式计算，容易发生运算错误，因此，当mn2时，特别是m接近于n时，利用组合数性质1能简化运算． 16．(2023东北师大附中模拟)有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？ [解析]因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯办法． 然后分步确定每个二极管发光颜色有222＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C20232＝160(种)． 17．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？ (1)各组人数分别为2,4,6个； (2)平均分成3个小组； (3)平均分成3个小组，进入3个不同车间． [解析](1)C212C410C66＝13 860(种)； (2)C412C48C44A33＝5 775(种)； (3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有C412C48C44A33A33＝C412C48C44＝34 650(种)不同的分法． 18．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？ (1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？ (4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？ [解析](1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A66A47种不同排法． (2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A99种排法，若甲不在末位，则甲有A18种排法，乙有A18种排法，其余有A88种排法， 综上共有(A99＋A18A18A88)种排法． 方法二：无条件排列总数 A2023－甲在首，乙在末A88甲在首，乙不在末A99－A88甲不在首，乙在末A99－A88 甲不在首乙不在末，共有(A2023－2A99＋A88)种排法． (3)10人的所有排列方法有A2023种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有A2023A33种． (4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A2023种排法． | 
