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选修2-3 1.3.1 二项式定理 一、选择题 1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是() A．2nB．2n＋1 C．2n－1 D．2(n＋1) [答案]B 2．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是() A．Crn B．Cr＋1n C．Cr－1n D．(－1)r－1Cr－1n [答案]D 3．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是() A．－27C610 B．27C410 C．－9C610 D．9C410 [答案]D [解析]∵Tr＋1＝Cr10x10－r(－3)r.令10－r＝6， 解得r＝4.系数为(－3)4C410＝9C410. 4．(2023全国Ⅰ理，5)(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x的系数是() A．－4 B．－2 C．2 D．4 [答案]C [解析](1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x＋12x＋8xx)(1－3x)5， 故(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中含x的项为1C35(－3x)3＋12xC05＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2. 5．在2x3＋1x2n(nN*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是() A．3 B．5 C．8 D．10 [答案]B [解析]Tr＋1＝Crn(2x3)n－r1x2r＝2n－rCrnx3n－5r. 令3n－5r＝0，∵0n，r、nZ. n的最小值为5. 6．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是() A．－297 B．－252 C．297 D．207 [答案]D [解析]x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项． 其系数为C510＋C210(－1)＝207. 7．(2023北京)在x2－1xn的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是() A．3 B．4 C．5 D．6 [答案]D [解析]通项Tr＋1＝Cr10(x2)n－r(－1x)r＝(－1)rCrnx2n－3r，常数项是15，则2n＝3r，且Crn＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D. 8．(2023陕西理，4)(x＋ax)5(xR)展开式中x3的系数为10，则实数a等于() A．－1 B.12 C．1 D．2 [答案]D [解析]Cr5xr(ax)5－r＝Cr5a5－rx2r－5，令2r－5＝3，r＝4， 由C45a＝10，得a＝2. 9．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是() A.112＜x＜15 B.16＜x＜15 C.112＜x＜23 D.16＜x＜25 [答案]A [解析]由T2T3得C162x1C162xC26(2x)2023＜x＜15. 10．在32x－2023的展开式中，系数是有理数的项共有() A．4项 B．5项 C．6项 D．7项 [答案]A [解析]Tr＋1＝Cr20(32x)20－r－12r＝－22r(32)20－rCr20x20－r， ∵系数为有理数， (2)r与220－r3均为有理数， r能被2整除，且20－r能被3整除， 故r为偶数，20－r是3的倍数，020. r＝2,8,14,20. 二、填空题 11．(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中，x5的系数为____________． [答案]－162 12．(1＋x)2(1－x)5的展开式中x3的系数为________． [答案]5 [解析]解法一：先变形(1＋x)2(1－x)5＝(1－x)3(1－x2)2＝(1－x)3(1＋x4－2x2)，展开式中x3的系数为－1＋(－2)C13(－1)＝5； 解法二：C35(－1)3＋C12C25(－1)2＋C22C15(－1)＝5. 13．若x2＋1ax6的二项展开式中x3的系数为52，则a＝________(用数字作答)． [答案]2 [解析]C36(x2)31ax3＝20a3x3＝52x3，a＝2. 14．(2023辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－1x)6的展开式中的常数项为________． [答案]－5 [解析](1＋x＋x2)x－1x6 ＝x－1x6＋xx－1x6＋x2x－1x6， 要找出x－1x6中的常数项，1x项的系数，1x2项的系数，Tr＋1＝Cr6x6－r(－1)rx－r＝Cr6(－1)rx6－2r， 令6－2r＝0，r＝3， 令6－2r＝－1，无解． 令6－2r＝－2，r＝4. 常数项为－C36＋C46＝－5. 三、解答题 15．求二项式(a＋2b)4的展开式． [解析]根据二项式定理 (a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbnn得 (a＋2b)4＝C04a4＋C14a3(2b)＋C24a2(2b)2＋C34a(2b)3＋C44(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4. 16．m、nN*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数． [解析]由题设m＋n＝19，∵m，nN*. m＝1n＝18，m＝2n＝17，…，m＝18n＝1. x2的系数C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171. 当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C79＋C710＝156. 17．已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． [解析](1)Tr＋1＝Crn(3x)n－r(－123x)r ＝Crn(x13)n－r(－12x－13)r ＝(－12)rCrnxn－2r3. ∵第6项为常数项， r＝5时有n－2r3＝0，n＝10. (2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2， 所求的系数为C210(－12)2＝454. (3)根据通项公式，由题意得：10－2r3r10rZ 令10－2r3＝k(kZ)，则10－2r＝3k， 即r＝10－3k2＝5－32k. ∵rZ，k应为偶数，k可取2,0，－2， r＝2,5,8，第3项、第6项与第9项为有理项． 它们分别为C210(－12)2x2，C510(－12)5， C810(－12)8x－2. 18．若x＋124xn展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项． [解析]通项为：Tr＋1＝Crn(x)n－r124xr. 由已知条件知：C0n＋C2n122＝2C1n12，解得：n＝8. 记第r项的系数为tr，设第k项系数最大，则有： tktk＋1且tktk－1. 又tr＝Cr－182－r＋1，于是有： Ck－182－k＋1Ck82－kCk－182－k＋1Ck－282－k＋2 即8！(k－1)！(9－k)！8！k！(8－k)！，8！(k－1)！(9－k)！8！(k－2)！(10－k)！2. 29－k1k，1k－2023－k.解得34. 系数最大项为第3项T3＝7x35和第4项T4＝7x74. | 
