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选修2-3 2.4 正态分布 一、选择题 1．下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是() A．f(x)＝12e－(x－1)22 B．f(x)＝12e(x－2)222 C．f(x)＝12e－(x－)222 D．f(x)＝12e－(x－ [答案]A 2．已知～N(0,62)，且P(－20)＝0.4，则P(2)等于() A．0.1 B．0.2 C．0.6 D．0.8 [答案]A [解析]由正态分布曲线的性质知P(02)＝0.4，P(－22)＝0.8，P(2)＝12(1－0.8)＝0.1，故选A. 3．若随机变量～N(2,100)，若落在区间(－，k)和(k，＋)内的概率是相等的，则k等于() A．2 B．10 C.2 D．可以是任意实数 [答案]A [解析]由于的取值落在(－，k)和(k，＋)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即＝k，而＝2.k＝2. 4．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内() A．(90,110] B．(95,125] C．(100,120] D．(105,115] [答案]C [解析]由于X～N(110,52)，＝110，＝5. 因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.2023,0.2023,0.2023. 由于一共有60人参加考试， 成绩位于上述三个区间的人数分别是： 600.202341人，600.202357人， 600.202360人． 5．(2023山东理，5)已知随机变量服从正态分布N(0，2)，P(2)＝0.023，则P(－22)＝() A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 [答案]C [解析]∵P(2)＝0.023，P(－2)＝0.023， 故P(－22)＝1－P(2)－P(－2)＝0.954. 6．以(x)表示标准正态总体在区间(－，x)内取值的概率，若随机变量服从正态分布(，2)，则概率P(||)等于() A．＋)－－) B．(1)－(－1) C．1－ D．2＋) [答案]B [解析]设＝||，则P(||)＝P(|1) ＝(1)－(－1)． [点评]一般正态分布N(，2)向标准正态分布N(0,1)转化． 7．给出下列函数：①f(x)＝12e－(x＋)222；②f(x)＝12e－(x－)24；③f(x)＝12e－x24；④f(x)＝1e－(x－)2，其中(－，＋)，＞0，则可以作为正态分布密度函数的个数有() A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]C [解析]对于①，f(x)＝12e－(x＋)222.由于(－，＋)，所以－(－，＋)，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，若＝1，则应为f(x)＝12e－(x－)22.若＝2，则应为f(x)＝122e－(x－)24，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数；对于③，它就是当＝2，＝0时的正态分布密度函数；对于④，它是当＝22时的正态分布密度函数．所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数． 8．(2023安徽)设两个正态分布N(1，21)(0)和N(2，22)(0)的密度函数图象如图所示，则有() A．2，2 B．2，2 C．2，2 D．2，2 [答案]A [解析]根据正态分布的性质：对称轴方程x＝，表示总体分布的分散与集中．由图可得，故选A. 二、填空题 9．正态变量的概率密度函数f(x)＝12e－(x－3)22，xR的图象关于直线________对称，f(x)的最大值为________． [答案]x＝312 10．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________． [答案]1 [解析]正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的． ∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，所以正态分布的数学期望就是1. 11．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2)(0)，若在(0,1)内取值的概率为0.4，则在(0,2)内取值的概率为____________． [答案]0.8 [解析]∵＝1，正态曲线关于直线x＝1对称． 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相等． 12．(2023福安)某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________． [答案](24.94,25.06) [解析]正态总体N(25,0.032)在区间(25－20.03，25＋20.03)取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)． 三、解答题 13．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于142.求该正态分布的概率密度函数的解析式． [解析]由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象即正态曲线关于y轴对称，即＝0.而正态密度函数的最大值是12，所以12＝124，因此＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是，(x)＝142e－x232，x(－，＋)． 14．(2023邯郸高二检测)设随机变量～N(2,9)，若P(c＋1)＝P(c－1)，求c的值． [分析]由题目可获取以下主要信息： ①～N(2,9)，②P(c＋1)＝P(c－1)． 解答本题可利用正态曲线的对称性来求解． [解析]由～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)， 又P(c＋1)＝P(c－1)， 故有2－(c－1)＝(c＋1)－2， c＝2. [点评]解答此类问题要注意以下知识的应用： (1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1； (2)正态曲线关于直线x＝对称，从而在关于x＝对称的区间上概率相等． (3)P(xa)＝1－P(xa) P(x－a)＝P(x＋a) 若b，则P(xb)＝1－P(x＋b)2. 15．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500,202)，该工厂共有2023名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？ [解析]设该工厂工人的月收入为，则～N(500,202)，所以＝500，＝20， 所以月收入在区间(500－320,500＋320)内取值的概率是0.2023，该区间即(440,560)． 因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有2023(1－0.2023)＝20230.20233(人)． 16．已知某种零件的尺寸(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋)上是减函数，且f(80)＝182. (1)求概率密度函数； (2)估计尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的百分之几？ [解析](1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值，因此得＝80. 12＝182，所以＝8. 故概率密度函数解析式是，(x)＝182e－(x－80)2023. (2)尺寸在72mm～88mm之间的零件的百分率，即在(80－8,80＋8)之间的概率为68.28%. | 
