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数列解答题 1、设各项均为正数的等比数列 设 （1）求数列 的通项公式； （2）若 （3）设 ，是否存在关于n的整式 ，使 对一切不小于2的整数n都成立？若存在，求出 ，若不存在，说明理由。 2、设数列{an}的各项都是正数，且对任意nN*，都有a13＋a23＋a33＋……＋an3=sn2,其中sn为数列的前n项和. (Ⅰ)求证：an2=2sn―an； (Ⅱ)求数列{an}的通项公式； (Ⅲ)设bn=3n＋(―1)n-12an(为非零整数，nN*)，试确定的值，使得对任意的 nN*，都有bn+1bn成立. 解：(Ⅰ)由已知，当n=1时，a13=s12又∵a10a1=1…………1分 当n2时，a13＋a23＋a33＋……＋an3=sn2…………① a13＋a23＋a33＋……＋an-13=sn-12…………②………………2分 ①―②得：an3=(sn―sn-1)(sn＋sn-1)=an(sn＋sn-1)∵an0an2=sn＋sn-1 又sn-1=sn―anan2=2sn―an…………3分 当n=1时，a1=1也适合上式an2=2sn―an…………4分 (Ⅱ)由（1）知，an2=2sn―an………③当n2时，an-12=2sn-1―an-1……④ ③―④得：an2―an-12=2（sn―sn-1）＋an-1―an=an＋an-1…………6分 ∵an＋an-10an―an-1=1数列{an}是等差数列，an=n…………8分 (Ⅲ)∵an=nbn=3n＋(―1)n-12n.要使bn+1bn恒成立，则bn+1―bn=3n+1＋(―1)n2n+1―3n―(―1)n-12n=23n―3(―1)n-10恒成立，即(―1)n-1(32)n-1恒成立…………9分， （1）当n为奇数时，即(32)n-1恒成立，又(32)n-1的最小值为1，1；…………10分 （2）当n为偶数时，即―(32)n-1恒成立，又―(32)n-1的最大值为―32，―32……11分 即―321,又为非零整数，=―1能使得对任意的nN*，都有bn+1bn成立.…12分 3、已知各项均为正数的数列 的首项 ，且 ，数列 是等差数列，首项为 ，公差为2,其中 . （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 解：（1）由题可得： ，数列 是以1为首项，2为公比的等比数列。 .……………………………………6分 （2）由题知： ， .…………12分 4、已知 数列 的前n项和为 ，点 在曲线 上 且 ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）求证： ． 解：（1） ，数列 是等差数列，首项 公差d=4 ∵ （2） 5、设数列 的前 项和为 ，对一切 ，点 都在函数 的图象上． （Ⅰ）求 的值，猜想 的表达式，并用数学归纳法证明； （Ⅱ）将数列 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（ ），（ ， ），（ ， ， ），（ ， ， ， ）；（ ），（ ， ），（ ， ， ），（ ， ， ， ）；（ ），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为 ，求 的值； 思路点拨：（本题将函数与数列知识交汇在一起，考查了观察、归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法，考查了等差数列、等差数列的求和公式，考查了同学们观察问题、解决问题的能力。（1）将点 代入函数 中，通过整理得到 与 的关系，则 可求；（2）通过观察发现 是第25组中第4个括号内各数之和，各组第4个括号中各数之和构成首项为68、公差为80构成等差数列，利用等差数列求和公式可求． 。 解：（Ⅰ）因为点 在函数 的图象上， 故 ，所以 ．------------------------1分 令 ，得 ，所以 ； 令 ，得 ，所以 ； 令 ，得 ，所以 ． 由此猜想： ．…………………………………………4分 用数学归纳法证明如下： ①当 时，有上面的求解知，猜想成立．-------------5分 ②假设 时猜想成立，即 成立， 则当 时，注意到 ， 故 ， ． 两式相减，得 ，所以 ． 由归纳假设得， ， 故 ． 这说明 时，猜想也成立． 由①②知，对一切 ， 成立．……………………………………8分 （Ⅱ）因为 （ ），所以数列 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68， 所以 ．又 =22，所以 =2023．………………14分 归纳总结：由已知求出数列的前几项，做出猜想，然后利用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法。证明的关键是根据已知条件和假设寻找 与 或 与 间的关系，使命题得证。 6、已知数列 满足， ，且 ．（ N*） （I）求数列 的通项公式； （II）若 = 试问数列 中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列？ 若存在，求出满足条件的等差数列，若不存在；说明理由. 解：（I）由 ， 知， 当 为偶数时， ；当 为奇数时， ；……………2分 由 ，得 ，即 ， 所以 ， 即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列 所以， ， ， 故 （ N*）…………………5分 （II）由（I）知 ， 则对于任意的 , .………………7分 假设数列 中存在三项 （ ）成等差数列， 则 ，即只能有 成立， 所以 ， ………………9分 所以， ， 因为 ，所以 ， 所以 是偶数， 是奇数，而偶数与奇数不可能相等， 因此数列 中任意三项不可能成等差数列．…………………12分 7、已知数列 满足： ， ， ． （Ⅰ）证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ； （Ⅲ）设 ，求 的最大值． 证明：（Ⅰ）∵ ，------------2分 又 ， 等比数列，且公比为 ，----------3分 ，解得 ；------------4分 （Ⅱ） ，------------5分 当 时， ------------6分 ------------8分 （Ⅲ） ----------9分 令 ------------10分 ------------11分 ------------12分 所以： 故 ．-------14分 8、已知等差数列 的前 项和为 ，a2=4，S5=35． （Ⅰ）求数列 的前 项和 ； （Ⅱ）若数列 满足 ，求数列 的前n项和 解：（Ⅰ）设数列 的首项为a1，公差为d． 则 ，5分 ． 前 项和 ．7分 （Ⅱ）∵ ， 且b1=e．8分 当n2时， 为定值 数列 构成首项为e，公比为e3的等比数列 ．13分 数列 的前n项的和是 ． 9、已知等差数列{an}的公差大于0，且 是方程 的两根，数列{ }的前n项和为 ，且 (1)求数列{ }、{ }的通项公式； (2)记 ，求证： 方法二：数学归纳法 （1） 当n=1时，左边=1，右边=1，不等式成立。7分 （2） 假设n=k结论成立，即： 8分 那么当n=k+1时， 所以当n=k+1时，结论成立。11分 综合以上（1）（2）不等式对于任意的 成立。12分 （其它证法以例给分） 10、已知数列 的前 项和为 ，若 , 。 （1）令 ，是否存在正整数 ,使得对一切正整数 ，总有 ，若存在,求出 的最小值；若不存在,说明理由。 （2）令 , 的前 项和为 ,求证： 。 解：（1）令 ， ，即 由 ∵ ， ， 即数列 是以2为首项、 为公差的等差数列， …………………2分 , ,解得n4,………………………………………………4分 最大,m ,m的最小值为4.……………………………6分 (2)∵ ………………9分. 3……………………………………………………………………12分. 另解 …………9分. 3。……………………………………………………………12分. 11、已知数列{an}满足：a1=a2=a3=2，an+1=a1a2…an-1(n3)，记 (n3)． (1)求证数列{bn}为等差数列，并求其通项公式； (2)设 ，数列{ }的前n项和为Sn，求证：nn+1． 解：(1)方法一当n3时，因 ①， 故 ②．……………………………………2分 ②-①，得bn-1-bn-2= = =1，为常数， 所以，数列{bn}为等差数列．…………………………………………………………5分 因b1= =4，故bn=n+3．……………………………………8分 方法二当n3时，a1a2…an=1+an+1，a1a2…anan+1=1+an+2， 将上两式相除并变形，得 ．……………………………………2分 于是，当nN*时， ． 又a4=a1a2a3-1=7，故bn=n+3(nN*)． 所以数列{bn}为等差数列，且bn=n+3．………………………………………………8分 (2)方法一因 ，…………………12分 故 ． 所以 ，………15分 即n＜Sn＜n+1．………………………………………………………………………16分 方法二因 ，故 1， ．……………………10分 = ， 故 ，于是 ．……………………………………16分 12、已知数列 是各项均不为 的等差数列，公差为 ， 为其前 项和，且满足 ， ．数列 满足 ， 为数列 的前n项和． (Ⅰ)求 、 和 ； (Ⅱ)若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围； (Ⅲ)是否存在正整数 ，使得 ， ， 成等比数列？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由． 解：(Ⅰ)解法一：在 中，令 ， ， 得 即 ……………………(2分) 解得 ， ，…………(3分) ． ， ．……(5分) 解法二： 是等差数列， ．……(2分) 由 ，得 ， 又 ， ，则 ．……(3分) ( 求法同法一) （Ⅱ）①当 为偶数时，要使不等式 恒成立，即需不等式 恒成立．……(6分) ，等号在 时取得． 此时 需满 足 ．……(7分) ②当 为奇数时，要使不等式 恒成立，即需不等式 恒成立．……(8分) 是随 的增大而增大， 时 取得最小值 ． 此时 需满足 ．……(9分) 综合①、②可得 的取值范围是 ．……(10分) （Ⅲ） ， 若 成等比数列，则 ，即 ．…(11分) （法一）由 ，可得 ， 即 ，……(12分) ．……(13分) 又 ，且 ，所以 ，此时 ． 因此，当且仅当 ， 时， 数列 中的 成等比数列．……(14分) （法二）因为 ，故 ，即 ， ，（以下同上）．……(13分) 13、已知各项均为正数的等比数列 的公比为 ，且 。 （1）在数列 中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由； （2）若 ，且对任意正整数 ， 仍是该数列中的某一项。 （ⅰ）求公比 ； （ⅱ）若 ， ， ，试用 表示 . ⑴由条件知： ， ， ， 所以数列 是递减数列，若有 ， ， 成等差数列， 则中项不可能是 （最大），也不可能是 （最小），……………2分 若 ，（*） 由 , ，知(*)式不成立， 故 ， ， 不可能成等差数列.……………………………4分 ⑵(i)方法一： ，…6分 由 知， ， 且 …，…………………………8分 所以 ，即 ， 所以 ，…………………………………………………10分 方法二：设 ，则 ，……………6分 由 知 ，即 ，………………8分 以下同方法一.……………………………………………………10分 (ii) ，…………………………………………………………12分 方法一： ， ， 所以 .………………………………16分 方法二： 所以 ，所以 ， ， ， …… ， 累加得 ， 所以 ， 所以 .………………………………………16分 1、解：设数列的公比为q(q0) | 
