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选修2-3 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质 一、选择题 1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为() A．2n－1 B．2n－1 C．2n＋1－1 D．2n [答案]C [解析]解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋…＋2n ＝1(2n＋1－1)2－1＝2n＋1－1. 解法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C. 2．(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是() A．第4项 B．第4、5两项 C．第5项 D．第3、4两项 [答案]B [解析](x－y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项． 3．若x3＋1x2n展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于() A．210 B．120 C．461 D．416 [答案]A [解析]由已知得，第6项应为中间项，则n＝10. Tr＋1＝Cr10(x3)10－r1x2r＝Cr10x30－5r. 令30－5r＝0，得r＝6.T7＝C610＝210. 4．(2023安徽6)设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为() A．2 B．3 C．4 D．5 [答案]A [解析]∵a0＝a8＝C08＝1，a1＝a7＝C18＝8，a2＝a6＝C28＝28，a3＝a5＝C38＝56，a4＝C48＝70，奇数的个数是2，故选A. 5．设n为自然数，则C0n2n－C1n2n－1＋…＋(－1)kCkn2n－k＋…＋(－1)nCnn＝() A．2n B．0 C．－1 D．1 [答案]D [解析]原式＝(2－1)n＝1，故选D. 6．设A＝37＋C2023＋C2023＋C673，B＝C2023＋C2023＋C2023＋1，则A－B＝() A．128 B．129 C．47 D．0 [答案]A [解析]A－B＝37－C2023＋C2023－C2023＋…－1＝(3－1)7＝128. 7.x2＋2x8的展开式中x4项的系数是() A．16 B．70 C．560 D．2023 [答案]D [解析]考查二项式定理的展开式． 设第r＋1项含有x4，则Tr＋1＝Cr8(x2)8－r(2x－1)r ＝Cr82rx16－3r， 16－3r＝4，即r＝4，所以x4项的系数为C2023＝2023. 8．(2023广东惠州)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的() A．第9项 B．第10项 C．第19项 D．第20项 [答案]D [解析]∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是C2023＋C2023＋C2023＝5＋15＋35＝55，由3n－5＝55得n＝20，故选D. 9．若n为正奇数，则7n＋C1n7n－1＋C2n7n－2＋…＋Cn－1n7被9除所得的余数是() A．0 B．2 C．7 D．8 [答案]C [解析]原式＝(7＋1)n－Cnn＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n9n－1＋C2n9n－2－…＋Cn－1n9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7. 10．(2023江西理，6)(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为() A．－1 B．0 C．1 D．2 [答案]B [解析](2－x)8的通项式为Tr＋1＝Cr828－r(－x)r＝(－1)r28－rCr8xr2，则x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，故选B. 二、填空题 11．若(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023＋a2023x2023(xR)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2023)＋(a0＋a2023)＝________.(用数字作答) [答案]2023 [解析]令x＝0，则a0＝1. 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2023＋a2023＝(1－2)2023＝－1. (a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2023)＋(a0＋a2023) ＝2023a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2023) ＝2023－1＝2023. 12．(2023北京11)若x2＋1x3n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)． [答案]510 [解析]令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝Cr5(x2)5－r1x3r＝Cr5x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10. 13．(2023全国Ⅱ理，14)若x－ax9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________. [答案]1 [解析]由Tr＋1＝Cr9x9－r－axr＝(－a)rCr9x9－2r得 9－2r＝3，得r＝3，x3的系数为(－a)3C39＝－84， 解得a＝1. 14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的01三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______． [答案]2n－132 [解析]用不完全归纳法，猜想得出． 三、解答题 15．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0.求： (1)a8＋a7＋…＋a1； (2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0. [解析]令x＝0，得a0＝1. (1)令x＝1得 (3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，① a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255. (2)令x＝－1得 (－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.② ①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)， a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝12(28＋48)＝32 896. 16．设(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023(xR)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2023的值． (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2023的值． (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2023|的值． [分析]分析题意令x＝1求(1)式的值 令x＝－1求(2)式的值令x＝－1求(3)式的值 [解析](1)令x＝1，得： a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝(－1)2023＝1① (2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2023＝20230② 与①式联立，①－②得： 2(a1＋a3＋…＋a2023)＝1－20230， a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝1－202302. (3)∵Tr＋1＝Cr202320230－r(－2x)r ＝(－1)rCr2023(2x)r， a2k－10(kN*)，a2k0(kN*)． |a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2023| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2023， 所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2023＝20230. 17．证明：(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n. [证明]∵(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n， (C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)＝(1＋x)2n， 而Cn2n是(1＋x)2n的展开式中xn的系数， 由多项式的恒等定理得 C0nCnn＋C1nCn－1n＋…＋CnnC0n＝Cn2n. ∵Cmn＝Cn－mn(0n)， (C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n. 18．求(1＋x－2x2)5展开式中含x4的项． [分析]由题目可获取以下主要信息： ①n＝5；②三项的和与差． 解答本题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法则，由组合数的定义求解． [解析]方法一：(1＋x－2x2)5＝[1＋(x－2x2)]5， 则Tr＋1＝Cr5(x－2x2)r(x－2x2)r展开式中第k＋1项为Tk＋1＝Ckrxr－k(－2x2)k＝(－2)kCkrxx＋k. 令r＋k＝4，则k＝4－r. ∵0r,05，且k、rN， r＝2k＝2或r＝3k＝1或r＝4k＝0. 展开式中含x4的项为[C25(－2)2C22＋C35(－2)C13＋C45(－2)0C04]x4＝－15x4. 方法二：(1＋x－2x2)5＝(1－x)5(1＋2x)5， 则展开式中含x4的项为 C05C45(2x)4＋C15(－x)C35(2x)3＋C25(－x)2C25(2x)2＋C35(－x)3C15(2x)＋C45(－x)4C05(2x)0＝－15x4. | 
