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独立重复试验与二项分布 一、选择题 1．某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次这样的试验中，A发生k次的概率为() A．1－pk B．(1－p)kpn－k C．(1－p)k D．Ckn(1－p)kpn－k [答案]D [解析]在n次独立重复试验中，事件A恰发生k次，符合二项分布，而P(A)＝p，则P(A)＝1－p，故P(X＝k)＝Ckn(1－p)kpn－k，故答案选D. 2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为2023，则事件A在1次试验中发生的概率为() A.13 B.25 C.56 D.34 [答案]A [解析]事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－C04p0(1－p)4＝2023，所以1－p＝23，p＝13，故答案选A. 3．流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002，流星数为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为() A．3.2023－5 B．3.2023－9 C．6.2023－5 D．6.2023－9 [答案]B [解析]相当于1个流星独立重复10次，其中落在地面上的有4次的概率P＝C2023.2023(1－0.002)63.2023－9，应选B. 4．已知随机变量X服从二项分布，X～B6，13，则P(X＝2)等于() A.316 B.2023 C.20233 D.20233 [答案]D [解析]已知X～B6，13，P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，当X＝2，n＝6，p＝13时有P(X＝2)＝C202321－136－2＝C20232023＝20233. 5．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是() A.20235 B.20235 C.202325 D.202325 [答案]B [解析]P＝C20232023＝20235. 6．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第次首次测到正品，则P(＝3)＝() A．C2023234 B．C2023214 C.20234 D.20234 [答案]C 7．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为() A．0.930.1 B．0.93 C．C340.930.1 D．1－0.13 [答案]C [解析]由独立重复试验公式可知选C. 8．(2023保定高二期末)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是() A．(12)5 B．C25(12)5 C．C35(12)3 D．C25C35(12)5 [答案]B [解析]由于质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C35(12)3(12)2＝C35(12)5＝C25(12)5. 二、填空题 9．已知随机变量X～B(5，13)，则P(X4)＝________. [答案]20233 10．下列例子中随机变量服从二项分布的有________． ①随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数； ③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数(MN)； ④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数． [答案]①③ [解析]对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝13.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0,1,2，……，n)的概率P(＝k)＝Ckn13k23n－k，符合二项分布的定义，即有～B(n，13)． 对于②，的取值是1,2,3，……，P(＝k)＝0.90.1k－1(k＝1,2,3，……n)，显然不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布． ③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此不服从二项分布，对于③有～Bn，MN. 故应填①③. 11．(2023湖北文，13)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)． [答案]0.2023 [解析]本题主要考查二项分布． C340.930.1＋(0.9)4＝0.2023. 12．如果X～B(20，p)，当p＝12且P(X＝k)取得最大值时，k＝________. [答案]10 [解析]当p＝12时，P(X＝k)＝Ck2023k2023－k ＝2023Ck20，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值． 三、解答题 13．在一次测试中，甲、乙两人独立解出一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率是0.36，写出解出该题人数X的分布列． [解析]设甲、乙独立解出该题的概率为x，由题意1－(1－x)2＝0.36，解得x＝0.2. 所以解出该题人数X的分布列为 X 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 14.已知某种疗法的治愈率是90%，在对10位病人采用这种疗法后，正好有90%被治愈的概率是多少？(精确到0.01) [解析]10位病人中被治愈的人数X服从二项分布，即X～B(10,0.9)，故有9人被治愈的概率为P(X＝9)＝C2023.990.110.39. 15．9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X表示补种的费用，写出X的分布列． [解析]因为一个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以一个坑不需要补种的概率为1－18＝78. 3个坑都不需要补种的概率为 C202320230.670， 恰有1个坑需要补种的概率为 C202320230.287， 恰有2个坑需要补种的概率为 C202320230.041， 3个坑都需要补种的概率为 C202320230.002. 补种费用X的分布列为 X 0 10 20 30 P 0.670 0.287 0.041 0.002 16.(2023全国Ⅰ理，18)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审． (1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率； (2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列． [分析]本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想．(1)“稿件被录用”这一事件转化为事件“稿件能通过两位初审专家的评审”和事件“稿件能通过复审专家的评审”的和事件，利用加法公式求解．(2)X服从二项分布，结合公式求解即可． [解析](1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D表示事件：稿件被录用． 则D＝A＋BC， 而P(A)＝0.50.5＝0.25，P(B)＝20.50.5＝0.5，P(C)＝0.3 故P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝0.25＋0.50.3＝0.4. (2)随机变量X服从二项分布，即X～B(4,0.4)， X的可能取值为0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝(1－0.4)4＝0.2023 P(X＝1)＝C140.4(1－0.4)3＝0.2023 P(X＝2)＝C240.42(1－0.4)2＝0.2023 P(X＝3)＝C340.43(1－0.4)＝0.2023 P(X＝4)＝0.44＝0.2023 | 
