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选修2-23.2.2复数代数形式的乘除运算 一、选择题 1．(2023安徽理，1)i是虚数单位，i3＋3i＝() A.14－312i B.14＋312i C.12＋36i D.12－36i [答案]B [解析]i3＋3i＝i(3－3i)(3＋3i)(3－3i) ＝3＋3i12＝14＋312i，故选B. 2．在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于() A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]B [解析]考查复数的运算． z＝－2＋i，对应点位于第二象限， 选B. 3．已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z等于() A．2i B．i C．－i D．－2i [答案]D [解析]本小题主要考查复数的运算． 设z＝bi(bR)，则z＋21－i＝2＋bi1－i＝2－b2＋b＋22i， b＋22＝0，b＝－2， z＝－2i，故选D. 4．i是虚数单位，若1＋7i2－i＝a＋bi(a，bR)，则乘积ab的值是() A．－15 B．－3 C．3 D．15 [答案]B [解析]本题考查复数的概念及其简单运算． 1＋7i2－i＝(1＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝－5＋15i5＝－1＋3i＝a＋bi， a＝－1，b＝3，ab＝－3. 5．设z是复数，a(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)＝() A．8 B．6 C．4 D．2 [答案]C [解析]考查阅读理解能力和复数的概念与运算． ∵a(z)表示使zn＝1的最小正整数n. 又使in＝1成立的最小正整数n＝4，a(i)＝4. 6．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则5iz＝() A．2－i B．2＋i C．－2－i D．－2＋i [答案]A [解析]考查复数的运算． z＝－1＋2i，则5i－1＋2i＝5i(－1－2i)(－1＋2i)(－1－2i) ＝10－5i5＝2－i. 7．设a，bR且b0，若复数(a＋bi)3是实数，则() A．b2＝3a2 B．a2＝3b2 C．b2＝9a2 D．a2＝9b2 [答案]A [解析]本小题主要考查复数的运算． (a＋bi)3＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i ＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i， 3a2b－b3＝0，3a2＝b2，故选A. 8．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，zz＝8，则zz等于() A．i B．－i C．1 D．i [答案]D [解析]本题主要考查复数的运算． 设z＝a＋bi(a，bR)，则z＝a－bi， 由z＋z＝4，zz＝8得2a＝4a2＋b2＝8a＝2b＝2 z＝2＋2i，z＝2－2i或z＝2－2i，z＝2＋2i，zz＝2－2i2＋2i＝－i或zz＝2＋2i2－2i＝i.zz＝i，故选D. 9．(2023新课标全国理，2)已知复数z＝3＋i(1－3i)2，z－是z的共轭复数，则zz－＝() A.14 B.12 C．1 D．2 [答案]A [解析]∵z＝3＋i(1－3i)2＝3＋i1－23i－3＝3＋i－2－23i ＝3＋i－2(1＋3i)＝(3＋i)(1－3i)－2(1＋3) ＝3－3i＋i＋3－8＝23－2i－8＝3－i－4，z－＝3＋i－4， zz－＝|z|2＝14，故选A. 10．定义运算abcd＝ad－bc，则符合条件1－1zzi＝4＋2i的复数z为() A．3－i B．1＋3i C．3＋i D．1－3i [答案]A [解析]由定义得1－1zzi＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i z＝4＋2i1＋i＝3－i. 故应选A. 二、填空题 11.1＋i1－i表示为a＋bi(a，bR)，则a＋b＝________. [答案]1 [解析]本小题考查复数的除法运算． ∵1＋i1－i＝(1＋i)22＝i，a＝0，b＝1. 因此a＋b＝1. 12．若复数z满足z＝i(2－z)(i是虚数单位)，则z＝________. [答案]1＋i [解析]本题主要考查复数的运算． ∵z＝i(2－z)，z＝2i1＋i＝1＋i. 13．关于x的不等式mx2－nx＋p0(m、n、pR)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于原复平面内的第________象限． [答案]二 [解析]∵mx2－nx＋p0(m、n、pR)的解集为(－1，2)，m0(－1)＋2＝nm(－1)2＝pm，即m0，p0. 故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限． 14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为________． [答案]83 [解析]设z1z2＝bi(bR且b0)，z1＝bi(z2)，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.a＝4b2＝3ba＝83. 三、解答题 15．计算： (1)－23＋i1＋23i＋21＋i2023＋1＋i3－i； (2)1＋in＋i2n＋…＋i2023n(nN)． [解析](1)原式＝－23＋i－i(－23＋i)＋(－i)100＋1＋i3－i ＝i＋1＋15＋25i＝65＋75i. (2)当n＝4k(kN)时，原式＝1＋1＋…＋1 2023＝2023. 当n4k(kN)时， 原式＝1－i2023n1－in＝1－i2023nin1－in＝1－in1－in＝1. 16．已知复数z＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i，＝z＋ai(aR)，当2时，求a的取值范围． [解析]z＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i ＝(2＋4i)－(1＋3i)i＝1＋ii＝－i(1＋i)1＝1－i ∵＝z＋ai＝1－i＋ai＝1＋(a－1)i z＝1＋(a－1)i1－i＝[1＋(a－1)i](1＋i)2＝2－a＋ai2 z＝(2－a)2＋a222 a2－2a－20，1－31＋3 故a的取值范围是[1－3，1＋3]． 17．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，cR)． (1)求b，c的值； (2)试证明1－i也是方程的根． [解析](1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根 (1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0 即b＋c＋(2＋b)i＝0 b＋c＝02＋b＝0解得b＝－2c＝2. (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0 把1－i代入方程左边得 左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立 1－i也是方程的根． 18．已知＝z＋i(zC)，z－2z＋2是纯虚数，又|＋1|2＋|－1|2＝16，求. [解析]设z＝a＋bi(a，bR) z－2z＋2＝(a－2)＋bi(a＋2)＋bi＝(a2＋b2－4)＋4bi(a＋2)2＋b2 由z－2z＋2是纯虚数得a2＋b2＝4b0① |＋1|2＋|－1|2＝|z＋i＋1|2＋|z＋i－1|2 ＝|a＋bi＋i＋1|2＋|a＋bi＋i－1|2 ＝|(a＋1)＋(b＋1)i|2＋|(a－1)2＋(b＋1)i|2 ＝(a＋1)2＋(b＋1)2＋(a－1)2＋(b＋1)2 ＝2(a2＋b2)＋4＋4b＝8＋4＋4b＝12＋4b＝16， b＝1， 将b＝1代入①得a＝3. z＝3＋i，＝3＋2i. | 
