一、选择题 1.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是() A.有一个解 B.有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解 [答案]C [解析]在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”,故应选C. 2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为() A.a、b、c都是奇数 B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C.a、b、c都是偶数 D.a、b、c中至少有两个偶数 [答案]B [解析]a,b,c三个数的奇、偶性有以下几种情况:①全是奇数;②有两个奇数,一个偶数;③有一个奇数,两个偶数;④三个偶数.因为要否定②,所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”.故应选B. 3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时,反设正确的是() A.假设三内角都不大于60 B.假设三内角都大于60 C.假设三内角至多有一个大于60 D.假设三内角至多有两个大于60 [答案]B [解析]“至少有一个不大于”的否定是“都大于60”.故应选B. 4.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是() A.假设a,b,c都是偶数 B.假设a、b,c都不是偶数 C.假设a,b,c至多有一个偶数 D.假设a,b,c至多有两个偶数 [答案]B [解析]“至少有一个”反设词应为“没有一个”,也就是说本题应假设为a,b,c都不是偶数. 5.命题“△ABC中,若B,则ab”的结论的否定应该是() A.ab B.ab C.a=b D.ab [答案]B [解析]“ab”的否定应为“a=b或ab”,即ab.故应选B. 6.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为() A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 [答案]C [解析]假设c∥b,而由c∥a,可得a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线.故应选C. 7.设a,b,c(-,0),则三数a+1b,c+1a,b+1c中() A.都不大于-2 B.都不小于-2 C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2 [答案]C [解析]a+1b+c+1a+b+1c =a+1a+b+1b+c+1c ∵a,b,c(-,0), a+1a=--a+-1a-2 b+1b=--b+-1b-2 c+1c=--c+-1c-2 a+1b+c+1a+b+1c-6 三数a+1b、c+1a、b+1c中至少有一个不大于-2,故应选C. 8.若P是两条异面直线l、m外的任意一点,则() A.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 B.过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 C.过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 D.过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 [答案]B [解析]对于A,若存在直线n,使n∥l且n∥m 则有l∥m,与l、m异面矛盾;对于C,过点P与l、m都相交的直线不一定存在,反例如图(l∥);对于D,过点P与l、m都异面的直线不唯一. 9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖了”,四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 [答案]C [解析]因为只有一人获奖,所以丙、丁只有一个说对了,同时甲、乙中只有一人说对了,假设乙说的对,这样丙就错了,丁就对了,也就是甲也对了,与甲错矛盾,所以乙说错了,从而知甲、丙对,所以丙为获奖歌手.故应选C. 10.已知x10,x11且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1(n=1,2…),试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn+1,或者对任意正整数n都满足xnxn+1”,当此题用反证法否定结论时,应为() A.对任意的正整数n,都有xn=xn+1 B.存在正整数n,使xn=xn+1 C.存在正整数n,使xnxn+1且xnxn-1 D.存在正整数n,使(xn-xn-1)(xn-xn+1)0 [答案]D [解析]命题的结论是“对任意正整数n,数列{xn}是递增数列或是递减数列”,其反设是“存在正整数n,使数列既不是递增数列,也不是递减数列”.故应选D. 二、填空题 11.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________. [答案]没有一个是三角形或四边形或五边形 [解析]“至少有一个”的否定是“没有一个”. 12.用反证法证明命题“a,bN,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”,那么反设的内容是________________. [答案]a,b都不能被5整除 [解析]“至少有一个”的否定是“都不能”. 13.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤: ①A+B+C=90+90+180,这与三角形内角和为180相矛盾,则A=B=90不成立; ②所以一个三角形中不能有两个直角; ③假设A,B,C中有两个角是直角,不妨设A=B=90. 正确顺序的序号排列为____________. [答案]③①② [解析]由反证法证明的步骤知,先反证即③,再推出矛盾即①,最后作出判断,肯定结论即②,即顺序应为③①②. 14.用反证法证明质数有无限多个的过程如下: 假设______________.设全体质数为p1、p2、…、pn,令p=p1p2…pn+1. 显然,p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数,要么含有______________的质因数.这表明,除质数p1、p2、…、pn之外,还有质数,因此原假设不成立.于是,质数有无限多个. [答案]质数只有有限多个除p1、p2、…、pn之外 [解析]由反证法的步骤可得. 三、解答题 15.已知:a+b+c0,ab+bc+ca0,abc0. 求证:a0,b0,c0. [证明]用反证法: 假设a,b,c不都是正数,由abc0可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数, 不妨设a0,b0,c0,则由a+b+c0, 可得c-(a+b), 又a+b0,c(a+b)-(a+b)(a+b) ab+c(a+b)-(a+b)(a+b)+ab 即ab+bc+ca-a2-ab-b2 ∵a20,ab0,b20,-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)0,即ab+bc+ca0, 这与已知ab+bc+ca0矛盾,所以假设不成立. 因此a0,b0,c0成立. 16.已知a,b,c(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于14. [证明]证法1:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数,1-a、1-b、1-c都是正数.(1-a)+b2(1-a)b>14=12, 同理(1-b)+c2>12,(1-c)+a2>12. 三式相加,得 (1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a2>32, 即32>32,矛盾. 所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14. 证法2:假设三个式子同时大于14,即(1-a)b14,(1-b)c14,(1-c)a14,三式相乘得 (1-a)b(1-b)c(1-c)a143① 因为01,所以0a(1-a)1-a+a22=14. 同理,0b(1-b)14,0c(1-c)14. 所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c143.② 因为①与②矛盾,所以假设不成立,故原命题成立. 17.已知函数f(x)是(-,+)上的增函数,a,bR. (1)若a+b0,求证:f(a)+f(b)f(-a)+f(-b); (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论. [解析](1)证明:∵a+b0,a-b. 由已知f(x)的单调性得f(a)f(-b). 又a+bb-af(b)f(-a). 两式相加即得:f(a)+f(b)f(-a)+f(-b). (2)逆命题: f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)a+b0. 下面用反证法证之. 假设a+b0,那么: a+ba-bf(a)f(-b)a+bb-af(b)f(-a) f(a)+f(b)f(-a)+f(-b). 这与已知矛盾,故只有a+b0.逆命题得证. 18.(2023湖北理,20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn=2023n-1.求证:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列. [解析]假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(rt)按某种顺序成等差数列,由于数列{bn}是首项为14,公比为23的等比数列,于是有btbr,则只可能有2bs=br+bt成立. 20233s-1=2023r-1+2023t-1. 两边同乘3t-121-r,化简得3t-r+2t-r=22s-r3t-s, 由于rt,所以上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾. 故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列. |