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选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是() A．b2－4ac0 B．b0，c0 C．b＝0，c D．b2－3ac0 [答案]D [解析]∵a0，f(x)为增函数， f(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立， ＝(2b)2－43ac＝4b2－12ac0，b2－3ac0. 2．(2023广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是() A．(－，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋) [答案]D [解析]考查导数的简单应用． f(x)＝(x－3)ex＋(x－3)(ex)＝(x－2)ex， 令f(x)0，解得x2，故选D. 3．已知函数y＝f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为() A．[－1，＋) B．(－，2] C．(－，－1)和(1,2) D．[2，＋) [答案]B [解析]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－，2]． 4．已知函数y＝xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是() [答案]C [解析]当01时xf(x)0 f(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数 当x1时xf(x)0，f(x)0，故y＝f(x)在(1，＋)上为增函数，因此否定A、B、D故选C. 5．函数y＝xsinx＋cosx，x(－)的单调增区间是() A.－，－2和0，2 B.－2，0和0，2 C.－，－2， D.－2，0和 [答案]A [解析]y＝xcosx，当－x2时， cosx0，y＝xcosx0， 当02时，cosx0，y＝xcosx0. 6．下列命题成立的是() A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0 B．若在(a，b)内对任何x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数 C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f(x)必存在 D．若f(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数 [答案]B [解析]若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错． 7．(2023福建理，11)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时() A．f(x)0，g(x) B．f(x)0，g(x)0 C．f(x)0，g(x) D．f(x)0，g(x)0 [答案]B [解析]f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，x0时，f(x)0，g(x)0. 8．f(x)是定义在(0，＋)上的非负可导函数，且满足xf(x)＋f(x)0，对任意正数a、b，若ab，则必有() A．af(a)f(b) B．bf(b)f(a) C．af(b)bf(a) D．bf(a)af(b) [答案]C [解析]∵xf(x)＋f(x)0，且x0，f(x)0， f(x)－f(x)x，即f(x)在(0，＋)上是减函数， 又0＜a＜b，af(b)bf(a)． 9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f(x)0，则必有() A．f(0)＋f(2)2f(1) B．f(0)＋f(2)2f(1) C．f(0)＋f(2)2f(1) D．f(0)＋f(2)2f(1) [答案]C [解析]由(x－1)f(x)0得f(x)在[1，＋)上单调递增，在(－，1]上单调递减或f(x)恒为常数， 故f(0)＋f(2)2f(1)．故应选C. 10．(2023江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S(t)的图像大致为 () [答案]A [解析]由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A. 二、填空题 11．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________． [答案]b－1或b2 [解析]若y＝x2＋2bx＋b＋20恒成立，则＝4b2－4(b＋2)0，－12， 由题意b＜－1或b＞2. 12．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋)内恒成立，实数a的取值范围为________． [答案]a1 [解析]由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋)内恒成立． 设g(x)＝1＋lnxx，则g(x)＝－lnxx2＜0(x＞1)， g(x)＝1＋lnxx在区间(1，＋)内单调递减， g(x)＜g(1)， ∵g(1)＝1， 1＋lnxx＜1在区间(1，＋)内恒成立， a1. 13．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________． [答案](－，－1) [解析]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋)(－，－1)， 令f(x)＝x2－x－2，f(x)＝2x－10，得x12， 函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－，－1)． 14．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________． [答案][3，＋) [解析]y＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax0在区间(0,2)内恒成立， 即a32x在区间(0,2)上恒成立，a3. 三、解答题 15．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a、b的值； (2)讨论函数f(x)的单调性． [解析](1)求导得f(x)＝3x2－6ax＋3b. 由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f(1)＝－12， 即1－3a＋3b＝－113－6a＋3b＝－12， 解得a＝1，b＝－3. (2)由a＝1，b＝－3得 f(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3) ＝3(x＋1)(x－3)． 令f(x)0，解得x－1或x3；又令f(x)0，解得－13. 所以当x(－，－1)时，f(x)是增函数； 当x(3，＋)时，f(x)也是增函数； 当x(－1,3)时，f(x)是减函数． 16．求证：方程x－12sinx＝0只有一个根x＝0. [证明]设f(x)＝x－12sinx，x(－，＋)， 则f(x)＝1－12cosx＞0， f(x)在(－，＋)上是单调递增函数． 而当x＝0时，f(x)＝0， 方程x－12sinx＝0有唯一的根x＝0. 17．已知函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间． [分析]可先由函数y＝ax与y＝－bx的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax3＋bx2＋5的单调区间． [解析]∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，a＜0，b＜0. 由y＝ax3＋bx2＋5得y＝3ax2＋2bx. 令y＞0，得3ax2＋2bx＞0，－2b3a＜x＜0. 当x－2b3a，0时，函数为增函数． 令y＜0，即3ax2＋2bx＜0， x＜－2b3a，或x＞0. 在－，－2b3a，(0，＋)上时，函数为减函数． 18．(2023新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2. (1)若a＝12，求f(x)的单调区间； (2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围． [解析](1)a＝12时，f(x)＝x(ex－1)－12x2， f(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)． 当x(－，－1)时，f(x)0；当x(－1,0)时，f(x)0；当x(0，＋)时，f(x)0. 故f(x)在(－，－1]，[0，＋)上单调递增，在[－1,0]上单调递减． (2)f(x)＝x(ex－1－ax)． 令g(x)＝ex－1－ax，则g(x)＝ex－a. 若a1，则当x(0，＋)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x0时g(x)0，即f(x)0. 当a1，则当x(0，lna)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x(0，lna)时g(x)0，即f(x)0. 综合得a的取值范围为(－，1]． | 
