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选修2-2 1.1 第3课时 导数的几何意义 一、选择题 1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么() A．f(x0)＞0 B．f(x0)＜0 C．f(x0)＝0 D．f(x0)不存在 [答案]B [解析]切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－12，即f(x0)＝－12＜0.故应选B. 2．曲线y＝12x2－2在点1，－32处切线的倾斜角为() A．1 B.4 C.54 D．－4 [答案]B [解析]∵y＝limx0 [12(x＋x)2－2]－(12x2－2)x ＝limx0 (x＋12x)＝x 切线的斜率k＝y|x＝1＝1. 切线的倾斜角为4，故应选B. 3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为4的点是() A．(0,0) B．(2,4) C.14，116 D.12，14 [答案]D [解析]易求y＝2x，设在点P(x0，x20)处切线的倾斜角为4，则2x0＝1，x0＝12，P12，14. 4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为() A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 [答案]B [解析]y＝3x2－6x，y|x＝1＝－3. 由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2. 5．设f(x)为可导函数，且满足limx0 f(1)－f(1－2x)2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为() A．2 B．－1 C．1 D．－2 [答案]B [解析]limx0 f(1)－f(1－2x)2x＝limx0 f(1－2x)－f(1)－2x ＝－1，即y|x＝1＝－1， 则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B. 6．设f(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线() A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 [答案]B [解析]由导数的几何意义知B正确，故应选B. 7．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f(5)分别为() A．3,3 B．3，－1 C．－1,3 D．－1，－1 [答案]B [解析]由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f(5)＝－1，故应选B. 8．曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P点的坐标为() A．(1,0)或(－1，－4) B．(0,1) C．(－1,0) D．(1,4) [答案]A [解析]∵f(x)＝x3＋x－2，设xP＝x0， y＝3x20x＋3x0(x)2＋(x)3＋x， yx＝3x20＋1＋3x0(x)＋(x)2， f(x0)＝3x20＋1，又k＝4， 3x20＋1＝4，x20＝1.x0＝1， 故P(1,0)或(－1，－4)，故应选A. 9．设点P是曲线y＝x3－3x＋23上的任意一点，P点处的切线倾斜角为，则的取值范围为() A.0，23 B.0，56 C.23 D.2，56 [答案]A [解析]设P(x0，y0)， ∵f(x)＝limx0 (x＋x)3－3(x＋x)＋23－x3＋3x－23x ＝3x2－3，切线的斜率k＝3x20－3， tan＝3x20－3－3. 0，23.故应选A. 10．(2023福州高二期末)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，4]，则点P横坐标的取值范围为() A．[－1，－12] B．[－1,0] C．[0,1] D．[12，1] [答案]A [解析]考查导数的几何意义． ∵y＝2x＋2，且切线倾斜角[0，4]， 切线的斜率k满足01，即02x＋21， －1－12. 二、填空题 11．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________． [答案]4x－y－1＝0 [解析]∵f(x)＝x2＋3，x0＝2 f(2)＝7，y＝f(2＋x)－f(2)＝4x＋(x)2 yx＝4＋x.limx0 yx＝4.即f(2)＝4. 又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2) 即4x－y－1＝0. 12．若函数f(x)＝x－1x，则它与x轴交点处的切线的方程为________． [答案]y＝2(x－1)或y＝2(x＋1) [解析]由f(x)＝x－1x＝0得x＝1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)． ∵f(x)＝limx0 (x＋x)－1x＋x－x＋1xx ＝limx0 1＋1x(x＋x)＝1＋1x2. 切线的斜率k＝1＋11＝2. 切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)． 13．曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个． [答案]至少一 [解析]由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个． 14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________． [答案]3x－y－11＝0 [解析]设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为 ，它是x0的函数，求出其最小值． 设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k＝ ＝3x20＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时k有最小值3，此时P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0. 三、解答题 15．求曲线y＝1x－x上一点P4，－74处的切线方程． [解析]y＝limx0 1x＋x－1x－(x＋x－x)x ＝limx0 －xx(x＋x)－xx＋x＋xx ＝limx0 －1x(x＋x)－1x＋x＋x＝－1x2－12x . y|x＝4＝－116－14＝－516， 曲线在点P4，－74处的切线方程为： y＋74＝－516(x－4)． 即5x＋16y＋8＝0. 16．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l. (1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程； (2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)． [解析](1)y＝limx0 (x＋x)3－3(x＋x)－3x3＋3xx＝3x2－3. 则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率 k1＝f(1)＝0， 所求直线方程为y＝－2. (2)设切点坐标为(x0，x30－3x0)， 则直线l的斜率k2＝f(x0)＝3x20－3， 直线l的方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0) 又直线l过点P(1，－2)， －2－(x30－3x0)＝(3x20－3)(1－x0)， x30－3x0＋2＝(3x20－3)(x0－1)， 解得x0＝1(舍去)或x0＝－12. 故所求直线斜率k＝3x20－3＝－94， 于是：y－(－2)＝－94(x－1)，即y＝－94x＋14. 17．求证：函数y＝x＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1. [解析]y＝limx0 f(x＋x)－f(x)x ＝limx0 x＋x＋1x＋x－x＋1xx ＝limx0 xx(x＋x)－x(x＋x)xx ＝limx0 (x＋x)x－1(x＋x)x ＝x2－1x2＝1－1x2＜1， y＝x＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1. 18．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2. (1)求直线l2的方程； (2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积． [解析](1)y|x＝1 ＝limx0 (1＋x)2＋(1＋x)－2－(12＋1－2)x＝3， 所以l1的方程为：y＝3(x－1)，即y＝3x－3. 设l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)， y|x＝b＝limx0 (b＋x)2＋(b＋x)－2－(b2＋b－2)x ＝2b＋1，所以l2的方程为：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2. 因为l1l2，所以3(2b＋1)＝－1，所以b＝－23，所以l2的方程为：y＝－13x－229. (2)由y＝3x－3，y＝－13x－229，得x＝16，y＝－52， 即l1与l2的交点坐标为16，－52. 又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，－223，0. 所以所求三角形面积S＝12－521＋223＝20232. | 
