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选修2-2 1.1 第2课时 导数的概念 一、选择题 1．函数在某一点的导数是() A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案]C [解析]由定义，f(x0)是当x无限趋近于0时，yx无限趋近的常数，故应选C. 2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为() A．6 B．18 C．54 D．81 [答案]B [解析]∵s(t)＝3t2，t0＝3， s＝s(t0＋t)－s(t0)＝3(3＋t)2－332 ＝18t＋3(t)2st＝18＋3t. 当t0时，st18，故应选B. 3．y＝x2在x＝1处的导数为() A．2x B．2 C．2＋x D．1 [答案]B [解析]∵f(x)＝x2，x＝1， y＝f(1＋x)2－f(1)＝(1＋x)2－1＝2x＋(x)2 yx＝2＋x 当x0时，yx2 f(1)＝2，故应选B. 4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的瞬时速度为() A．37 B．38 C．39 D．40 [答案]D [解析]∵st＝4(5＋t)2－3－452＋3t＝40＋4t， s(5)＝limt0 st＝limt0 (40＋4t)＝40.故应选D. 5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是() A．y＝f(x0＋x)－f(x0)叫做函数值的增量 B.yx＝f(x0＋x)－f(x0)x叫做函数在x0到x0＋x之间的平均变化率 C．f(x)在x0处的导数记为y D．f(x)在x0处的导数记为f(x0) [答案]C [解析]由导数的定义可知C错误．故应选C. 6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y|x＝x0，即() A．f(x0)＝f(x0＋x)－f(x0) B．f(x0)＝limx0[f(x0＋x)－f(x0)] C．f(x0)＝f(x0＋x)－f(x0)x D．f(x0)＝limx0 f(x0＋x)－f(x0)x [答案]D [解析]由导数的定义知D正确．故应选D. 7．函数y＝ax2＋bx＋c(a0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于() A．4a B．2a＋b C．b D．4a＋b [答案]D [解析]∵yx＝a(2＋x)2＋b(2＋x)＋c－4a－2b－cx ＝4a＋b＋ax， y|x＝2＝limx0 yx＝limx0 (4a＋b＋ax)＝4a＋b.故应选D. 8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是() A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．直线 [答案]D [解析]当f(x)＝b时，f(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D. 9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为() A．0 B．3 C．－2 D．3－2t [答案]B [解析]∵st＝3(0＋t)－(0＋t)2t＝3－t， s(0)＝limt0 st＝3.故应选B. 10．设f(x)＝1x，则limxa f(x)－f(a)x－a等于() A．－1a B.2a C．－1a2 D.1a2 [答案]C [解析]limxa f(x)－f(a)x－a＝limxa 1x－1ax－a ＝limxa a－x(x－a)xa＝－limxa 1ax＝－1a2. 二、填空题 11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则 limx0f(x0－x)－f(x0)x＝________； limxx0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝________. [答案]－11，－112 [解析]limx0 f(x0－x)－f(x0)x ＝－limx0 f(x0－x)－f(x0)－x＝－f(x0)＝－11； limxx0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝－12limx0 f(x0＋x)－f(x0)x ＝－12f(x0)＝－112. 12．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________． [答案]0 [解析]∵y＝1＋x＋11＋x－1＋11 ＝x－1＋1x＋1＝(x)2x＋1， yx＝xx＋1.y|x＝1＝limx0 xx＋1＝0. 13．已知函数f(x)＝ax＋4，若f(2)＝2，则a等于______． [答案]2 [解析]∵yx＝a(2＋x)＋4－2a－4x＝a， f(1)＝limx0 yx＝a.a＝2. 14．已知f(x0)＝limxx0 f(x)－f(x0)x－x0，f(3)＝2，f(3)＝－2，则limx3 2x－3f(x)x－3的值是________． [答案]8 [解析]limx3 2x－3f(x)x－3＝limx3 2x－3f(x)＋3f(3)－3f(3)x－3 ＝limx3 2x－3f(3)x－3＋limx3 3(f(3)－f(x))x－3. 由于f(3)＝2，上式可化为 limx3 2(x－3)x－3－3limx3 f(x)－f(3)x－3＝2－3(－2)＝8. 三、解答题 15．设f(x)＝x2，求f(x0)，f(－1)，f(2)． [解析]由导数定义有f(x0) ＝limx0 f(x0＋x)－f(x0)x ＝limx0 (x0＋x)2－x20x＝limx0 x(2x0＋x)x＝2x0， 16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.2023m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.610－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． [解析]位移公式为s＝12at2 ∵s＝12a(t0＋t)2－12at20＝at0t＋12a(t)2 st＝at0＋12at， limt0 st＝limt0 at0＋12at＝at0， 已知a＝5.2023m/s2，t0＝1.610－3s， at0＝800m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s. 17．在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋x,4＋y)，求(1)yx(2)f(1)． [解析](1)yx＝f(1＋x)－f(1)x ＝(1＋x)2＋3－12－3x＝2＋x. (2)f(1)＝limx0 f(1＋x)－f(1)x ＝limx0 (2＋x)＝2. 18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由． [解析]f(x)＝x＋x2(x0)－x－x2(x0) y＝f(0＋x)－f(0)＝f(x) ＝x＋(x)2(0)－x－(x)2(0) limx0＋ yx＝limx0＋ (1＋x)＝1， limx0－ yx＝limx0－ (－1－x)＝－1， ∵limx0－ ylimx0＋ yx，x0时，yx无极限． 函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0) | 
