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第二章 推理与证明综合检测 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半； 直角三角形的面积等于底乘高的一半； 钝角三角形的面积等于底乘高的一半； 所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半． 以上推理运用的推理规则是() A．三段论推理 B．假言推理 C．关系推理 D．完全归纳推理 [答案]D [解析]所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理． 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是() A.a1＝1，an＋1＝an＋n(nN*) B.a1＝1，an＝an－1＋n(nN*，n2) C.a1＝1，an＋1＝an＋(n－1)(nN*) D.a1＝1，an＝an－1＋(n－1)(nN*，n2) [答案]B [解析]记数列为{an}，由已知观察规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，…，可知当n2时，an比an－1多n，可得递推关系a1＝1，an－an－1＝n(n2，nN*)． 3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为() A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．不是以上错误 [答案]C [解析]大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C. 4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(nN*)时，验证n＝1，左边应取的项是() A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 [答案]D [解析]当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D. 5．在R上定义运算：xy＝x(1－y)．若不等式(x－a)(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则() A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．－12＜a＜32 D．－32＜a＜12 [答案]C [解析]类比题目所给运算的形式，得到不等式(x－a)(x＋a)1的简化形式，再求其恒成立时a的取值范围． (x－a)(x＋a)(x－a)(1－x－a)1 即x2－x－a2＋a＋10 不等式恒成立的充要条件是 ＝1－4(－a2＋a＋1)0 即4a2－4a－30 解得－2023.故应选C. 6．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则() A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13 B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14 C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13 D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14 [答案]D [解析]项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1，故应选D. 7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值() A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0 [答案]D [解析]解法1：∵a＋b＋c＝0， a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0， ab＋ac＋bc＝－a2＋b2＋c220. 解法2：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a、b异号，ab＋bc＋ac＝ab＜0，排除A、B、C，选D. 8．已知c＞1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是() A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a、b大小不定 [答案]B [解析]a＝c＋1－c＝1c＋1＋c， b＝c－c－1＝1c＋c－1， 因为c＋10，cc－10， 所以c＋1＋cc＋c－10，所以ab. 9．若凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)(k3且kN*)等于() A．f(k)＋ B．f(k)＋ C．f(k)＋32 D．f(k)＋2 [答案]B [解析]由凸k边形到凸(k＋1)边形，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋. 10．若sinAa＝cosBb＝cosCc，则△ABC是() A．等边三角形 B．有一个内角是30的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个内角是30的等腰三角形 [答案]C [解析]∵sinAa＝cosBb＝cosCc，由正弦定理得， sinAa＝sinBb＝sinCc，sinBb＝cosBb＝cosCc＝sinCc， sinB＝cosB，sinC＝cosC，B＝C＝45， △ABC是等腰直角三角形． 11．若a＞0，b＞0，则p＝(ab)a＋b2与q＝abba的大小关系是() A．p B．pq C．p＞q D．p＜q [答案]A 若a＞b，则ab＞1，a－b＞0，pq＞1； 若0＜a＜b，则0＜ab＜1，a－b＜0，pq＞1； 若a＝b，则pq＝1， pq. 12．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2023＝() x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2 A.1 B．2 C．4 D．5 [答案]C [解析]x1＝f(x0)＝f(5)＝2， x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2023＝x3＝4，故应选C. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．半径为r的圆的面积S(r)＝r2，周长C(r)＝2r，若将r看作(0，＋)上的变量，则(r2)＝2r.① ①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，你所写的式子可用语言叙述为__________________________． [答案]43R3＝4R2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数． 14．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(nN*)，用数学归纳法证明f(2n)n2时，f(2k＋1)－f(2k)＝________. [答案]12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1 [解析]f(2k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k＋1 f(2k)＝1＋12＋13＋…＋12k f(2k＋1)－f(2k)＝12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1. 15．观察①sin210＋cos240＋sin10cos40＝34； ②sin26＋cos236＋sin6cos36＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________． [答案]sin2＋cos2(30＋)＋sincos(30＋)＝34 [解析]观察40－10＝30，36－6＝30， 由此猜想： sin2＋cos2(30＋)＋sincos(30＋)＝34. 可以证明此结论是正确的，证明如下： sin2＋cos2(30＋)＋sincos(30＋) ＝1－cos22＋1＋cos(60＋2)2＋12[sin(30＋2)－sin30]＝1＋12[cos(60＋2)－cos2]＋12sin(30＋2)－12 ＝1＋12[－2sin(30＋2)sin30]＋12sin(30＋2)－12 ＝34－12sin(30＋2)＋12sin(30＋2)＝34. 16．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、bP，都有a＋b、a－b、ab、abP(除数b0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b2|a，bQ}也是数域．有下列命题： ①整数集是数域； ②若有理数集QM，则数集M必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域． 其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案]③④ [解析]考查阅读理解、分析等学习能力． ①整数a＝2，b＝4，ab不是整数； ②如将有理数集Q，添上元素2，得到数集M，则取a＝3，b＝2，a＋bM； ③由数域P的定义知，若aP，bP(P中至少含有两个元素)，则有a＋bP，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nbP，P中必含有无穷多个元素，③对． ④设x是一个非完全平方正整数(x1)，a，bQ，则由数域定义知，F＝{a＋bx|a、bQ}必是数域，这样的数域F有无穷多个． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知：a、b、cR，且a＋b＋c＝1. 求证：a2＋b2＋c213. [证明]由a2＋b22ab，及b2＋c22bc，c2＋a22ca. 三式相加得a2＋b2＋c2ab＋bc＋ca. 3(a2＋b2＋c2)(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2. 由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)1， 即a2＋b2＋c213. 18．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos4＝2， 2cos8＝2＋2， 2cos16＝2＋2＋2， …… [证明]2cos4＝222＝2 2cos8＝21＋cos42＝21＋222 ＝2＋2 2cos16＝21＋cos82 ＝21＋122＋22＝2＋2＋2 … 19．(本题满分12分)已知数列{an}满足a1＝3，anan－1＝2an－1－1. (1)求a2、a3、a4； (2)求证：数列1an－1是等差数列，并写出数列{an}的一个通项公式． [解析](1)由anan－1＝2an－1－1得 an＝2－1an－1， 代入a1＝3，n依次取值2,3,4，得 a2＝2－13＝53，a3＝2－35＝75，a4＝2－57＝97. (2)证明：由anan－1＝2an－1－1变形，得 (an－1)(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)， 即1an－1－1an－1－1＝1， 所以{1an－1}是等差数列． 由1a1－1＝12，所以1an－1＝12＋n－1， 变形得an－1＝22n－1， 所以an＝2n＋12n－1为数列{an}的一个通项公式． 20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a1)． (1)证明：函数f(x)在(－1，＋)上为增函数； (2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负根． [解析](1)证法1：任取x1，x2(－1，＋)，不妨设x1x2，则x2－x10， 且ax10， 又∵x1＋10，x2＋10， f(x2)－f(x1)＝x2－2x2＋1－x1－2x1＋1 ＝(x2－2)(x1＋1)－(x1－2)(x2＋1)(x1＋1)(x2＋1) ＝3(x2－x1)(x1＋1)(x2＋1)0， 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋10， 故函数f(x)在(－1，＋)上为增函数． 证法2：f(x)＝axlna＋x＋1－(x－2)(x＋1)2＝axlna＋3(x＋1)2 ∵a1，lna0，axlna＋3(x＋1)20， f(x)0在(－1，＋)上恒成立， 即f(x)在(－1，＋)上为增函数． (2)解法1：设存在x0－1)满足f(x0)＝0 则ax0＝－x0－2x0＋1，且01. 0－x0－2x0＋11，即122，与假设x00矛盾． 故方程f(x)＝0没有负数根． 解法2：设x0－1) ①若－10，则x0－2x0＋1－2，ax01，f(x0)－1. ②若x0－1则x0－2x0＋10，ax00， f(x0)0. 综上，x－1)时，f(x)－1或f(x)0，即方程f(x)＝0无负根． 21．(本题满分12分)我们知道，在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形．现在请你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，问△ABC为何种三角形？为什么？ [解析]锐角三角形∵cn＝an＋bn (n＞2)，c＞a, c＞b， 由c是△ABC的最大边，所以要证△ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cosC＞0. ∵cosC＝a2＋b2－c22ab， 要证cosC＞0，只要证a2＋b2＞c2，① 注意到条件：an＋bn＝cn， 于是将①等价变形为：(a2＋b2)cn－2＞cn.② ∵c＞a，c＞b，n＞2，cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2， 即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0， 从而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn ＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0， 这说明②式成立，从而①式也成立． 故cosC＞0，C是锐角，△ABC为锐角三角形． 22．(本题满分14分)(2023安徽理，20)设数列a1，a2，…an，…中的每一项都不为0. 证明{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何nN＋，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1. [分析]本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力． 解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性． [证明]先证必要性． 设数列{an}的公差为d.若d＝0，则所述等式显然成立． 若d0，则 1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1 ＝1da2－a1a1a2＋a3－a2a2a3＋…＋an＋1－ananan＋1 ＝1d1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1an＋1 ＝1d1a1－1an＋1＝1dan＋1－a1a1an＋1 ＝na1an＋1. 再证充分性． 证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切nN＋都成立．首先，在等式1a1a2＋1a2a3＝2a1a3 两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d. 假设ak＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观察如下两个等式 1a1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＝k－1a1ak，① 1a1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1② 将①代入②，得 k－1a1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1， 在该式两端同乘a1akak＋1，得(k－1)ak＋1＋a1＝kak. 将ak＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得ak＋1＝a1＋kd. 由数学归纳法原理知，对一切nN，都有an＝a1＋(n－1)d，所以{an}是公差为d的等差数列． 证法2：(直接证法)依题意有 1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1，① 1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＋1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋1.② ②－①得 1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋2－na1an＋1， 在上式两端同乘a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.③ 同理可得a1＝nan－(n－1)an＋1(n2)④ ③－④得2nan＋1＝n(an＋2＋an) 即an＋2－an＋1＝an＋1－an， 由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意nN*均成立．所以{an}是等差数列． | 
