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选修2-2 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 一、选择题 1．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1－z2是纯虚数，则有() A．a－c＝0且b－d0 B．a－c＝0且b＋d0 C．a＋c＝0且b－d D．a＋c＝0且b＋d0 [答案]A [解析]z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di) ＝(a－c)＋(b－d)i， ∵z1－z2是纯虚数， a－c＝0且b－d0. 故应选A. 2．[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于() A．－2b－2bi B．－2b＋2bi C．－2a－2bi D．－2a－2ai [答案]A [解析]原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋[－(a＋b)＋(a－b)]i＝－2b－2bi. 3．如果一个复数与它的模的和为5＋3i，那么这个复数是() A.115 B.3i C.115＋3i D.115＋23i [答案]C [解析]设这个复数为a＋bi(a，bR)， 则|a＋bi|＝a2＋b2. 由题意知a＋bi＋a2＋b2＝5＋3i 即a＋a2＋b2＋bi＝5＋3i a＋a2＋b2＝5b＝3，解得a＝115，b＝3. 所求复数为115＋3i.故应选C. 4．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的() A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]A [解析]∵z1＝3＋2i，z2＝1－3i， z＝z1－z2＝3＋2i－(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i＝2＋5i. 点Z位于复平面内的第一象限．故应选A. 5．ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是() A．2－3i B．4＋8i C．4－8i D．1＋4i [答案]C [解析]AB对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i， 设点D对应的复数为z，则DC对应的复数为(3－5i)－z. 由平行四边形法则知AB＝DC， －1＋3i＝(3－5i)－z， z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C. 6．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，若z1－z2＝0，则m的值为() A．4 B．－1 C．6 D．0 [答案]B [解析]z1－z2＝(m2－3m＋m2i)－[4＋(5m＋6)i] ＝(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i＝0 m2－3m－4＝0m2－5m－6＝0解得m＝－1，故应选B. 7．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝() A．－3i B．3i C．3i D．4i [答案]B [解析]令z＝a＋bi(a，bR)，则a2＋b2＝9① 又z＋3i＝a＋(3＋b)i是纯虚数 a＝0b＋30② 由①②得a＝0，b＝3， z＝3i，故应选B. 8．已知z1，z2C且|z1|＝1，若z1＋z2＝2i，则|z1－z2|的最大值是() A．6 B．5 C．4 D．3 [答案]C [解析]设z1＝a＋bi(a，bR，a2＋b2＝1) z2＝c＋di(c，dR) ∵z1＋z2＝2i (a＋c)＋(b＋d)i＝2i a＋c＝0b＋d＝2c＝－ad＝2－b， |z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i|＝|2a＋(2b－2)i| ＝(2a)2＋(2b－2)2＝2a2＋(b－1)2 ＝2a2＋b2＋1－2b＝22－2b. ∵a2＋b2＝1，－11 02－2b4，|z1－z2|4. 9．复数z＝x＋yi(x，yR)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为() A．2 B．4 C．42 D．82 [答案]C [解析]∵|z－4i|＝|z＋2|，且z＝x＋yi |x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi| x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2 x＝－2y＋3， 2x＋4y＝2－2y＋3＋4y＝814y＋4y42. 10．若xC，则方程|x|＝1＋3i－x的解是() A.12＋32i B．x1＝4，x2＝－1 C．－4＋3i D.12＋32i [答案]C [解析]令x＝a＋bi(a，bR) 则a2＋b2＝1＋3i－a－bi 所以a2＋b2＝1－a0＝3－b，解得a＝－4b＝3 故原方程的解为－4＋3i，故应选C. 二、填空题 11．若z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，x2，y1，y2R)，则|z2－z1|＝______________. [答案](x2－x1)2＋(y2－y1)2 [解析]∵z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i， z2－z1＝(x2－x1)＋(y2－y1)i， |z2－z1|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2. 12．已知z1＝32a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a，bR)，若z1－z2＝43，则a＋b＝________. [答案]3 [解析]z1－z2＝32a＋(a＋1)i－[－33b＋(b＋2)i]＝32a＋33b＋[(a＋1)－(b＋2)i] ＝32a＋33b＋(a－b－1)i＝43， 32a＋33b＝43a－b－1＝0，解之得a＝2b＝1， a＋b＝3. 13．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝______. [答案]16i [解析]原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i ＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i. 14．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，则点C对应的复数为________． [答案]4－2i [解析]∵BA对应的复数是1＋2i， BC对应的复数为3－i， AC对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC＝OA＋AC， C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 三、解答题 15．计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)． [解析]解法1：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i) ＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i) ＝(3－7i)－(3＋4i) ＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i. 解法2：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i) ＝(5－2－3)＋[－6＋(－1－4)]i ＝0＋(－11)i＝－11i. 16．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a－2＋i，若|z1－z2||z1|，求实数a的取值范围． [解析]z1－z2＝2＋3i－[(a－2)＋i]＝[2－(a－2)]＋(3－1)i＝(4－a)＋2i 由|z1－z2||z1|得 (4－a)2＋44＋9，(4－a)29，17 a的取值范围为(1,7)． 17．已知z1＝cos＋isin，z2＝cos－isin且z1－z2＝513＋2023i，求cos(＋)的值． [解析]∵z1＝cos＋isin，z2＝cos－isin z1－z2＝(cos－cos)＋i(sin＋sin)＝513＋2023i cos－cos＝513①sin＋sin＝2023② ①2＋②2得2－2cos(＋)＝1 即cos(＋)＝12. 18．(1)若f(z)＝z＋1－i，z1＝3＋4i，z2＝－2＋i，求f(z1－z2)； (2)z1＝2cos－i，z2＝－2＋2isin(0)，且z1＋z2对应的点位于复平面的第二象限，求的范围． [解析](1)z1－z2＝3＋4i－(－2＋i)＝5＋3i， f(z1－z2)＝(z1－z2)＋(1－i)＝5＋3i＋1－i＝6＋2i. (2)z1＋z2＝(2cos－i)＋(－2＋2isin)＝(2cos－2)＋(2sin－1)i， 由题意得：2cos－202sin－10，即cos22sin12 又[0,2]，故4，56. | 
