|
选修2-2 3.1.2 复数的几何意义 一、选择题 1．如果复数a＋bi(a，bR)在复平面内的对应点在第二象限，则() A．a0，b0 B．a0，b0 C．a0，b D．a0，b0 [答案]D [解析]复数z＝a＋bi在复平面内的对应点坐标为(a，b)，该点在第二象限，需a0且b0，故应选D. 2．(2023北京文，2)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是() A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i [答案]C [解析]由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－22＝2，y＝5＋32＝4， 点C对应的复数为2＋4i，故选C. 3．当231时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于() A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]D [解析]∵23＜m＜1，3m－20，m－1＜0， 点(3m－2，m－1)在第四象限． 4．复数z＝－2(sin100－icos100)在复平面内所对应的点Z位于() A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]C [解析]z＝－2sin100＋2icos100. ∵－2sin2023,2cos2023， Z点在第三象限．故应选C. 5．若a、bR，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在() A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]D [解析]a2－6a＋10＝(a－3)2＋10，－b2＋4b－5 ＝－(b－2)2－10.所以对应点在第四象限，故应选D. 6．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，tR，则以下结论中正确的是() A．z对应的点在第一象限 B．z一定不是纯虚数 C．z对应的点在实轴上方 D．z一定是实数 [答案]C [解析]∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋11，排除A、B、D，选C. 7．下列命题中假命题是() A．复数的模是非负实数 B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D．复数z1z2的充要条件是|z1|＞|z2| [答案]D [解析]①任意复数z＝a＋bi(a、bR)的模|z|＝a2＋b20总成立．A正确； ②由复数相等的条件z＝0a＝0b＝0.|z|＝0，故B正确； ③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2R) 若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，|z1|＝|z2| 反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2， 如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确； ④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，D错． 8．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，则实数x的取值范围是() A．－452 B．x2 C．x－45 D．x＝－45或x＝2 [答案]A [解析]由题意知(x－1)2＋(2x－1)210， 解之得－452.故应选A. 9．已知复数z1＝a＋bi(a，bR)，z2＝－1＋ai，若|z1||z2|，则实数b适合的条件是() A．b－1或b B．－11 C．b D．b0 [答案]B [解析]由|z1||z2|得a2＋b2a2＋1， b21，则－11. 10．复平面内向量OA表示的复数为1＋i，将OA向右平移一个单位后得到向量OA，则向量OA与点A对应的复数分别为() A．1＋i,1＋i B．2＋i,2＋i C．1＋i,2＋i D．2＋i,1＋i [答案]C [解析]由题意OA＝OA，对应复数为1＋i，点A对应复数为1＋(1＋i)＝2＋i. 二、填空题 11．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(mR)对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为________________． [答案]－，－1－2023，＋ [解析]复数z对应的点在第一象限 需m2＋m－104m2－8m＋30解得：m－1－52或m32. 12．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝________. [答案]15－8i [解析]设复数z＝a－8i，由a2＋82＝17， a2＝225，a＝15，z＝15－8i. 13．已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(mR)，若复数z对应点位于复平面上的第二象限，则m的取值范围是________． [答案]35 [解析]将复数z变形为z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m－6)i ∵复数z对应点位于复平面上的第二象限 m2－8m＋150m2－m－60解得35. 14．若tR，t－1，t0，复数z＝t1＋t＋1＋tti的模的取值范围是________． [答案][2，＋) [解析]|z|2＝t1＋t2＋1＋tt22t1＋t1＋tt＝2. |z|2. 三、解答题 15．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝2m＋(4－m2)i的点 (1)位于虚轴上； (2)位于一、三象限； (3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上． [解析](1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m＝0，即m＝0. (2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m(4－m2)0，解得m－2或02. (3)若对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上， 则4m2＋(4－m2)2＝4 即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝2. 16．已知z1＝x2＋x2＋1i，z2＝(x2＋a)i，对于任意的xR，均有|z1||z2|成立，试求实数a的取值范围． [解析]|z1|＝x4＋x2＋1，|z2|＝|x2＋a| 因为|z1||z2|，所以x4＋x2＋1|x2＋a| x4＋x2＋1(x2＋a)2(1－2a)x2＋(1－a2)0恒成立． 不等式等价于1－2a＝0或1－2a＝－4(1－2a)(1－a2)0 解得－112 所以a的取值范围为－1，12. 17．已知z1＝cos＋isin2，z2＝3sin＋icos，当为何值时 (1)z1＝z2； (2)z1，z2对应点关于x轴对称； (3)|z2|2. [解析](1)z1＝z2cos＝3sinsin2＝cos tan＝332sincos＝cos＝2k6(kZ)． (2)z1与z2对应点关于x轴对称 cos＝3sinsin2＝－cos＝k6(kZ)2sincos＝－cos ＝2k＋76Z)． (3)|z2|(3sin)2＋cos22 3sin2＋cos22sin212 －k4(kZ)． 18．已知复数z1＝3－i及z2＝－12＋32i. (1)求|z1|及|z2|的值并比较大小； (2)设zC，满足条件|z2||z1|的点Z的轨迹是什么图形？ [解析](1)|z1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2 |z2|＝－12－32i＝1.|z1|＞|z2|. (2)由|z2||z1|，得12. 因为|z|1表示圆|z|＝1外部所有点组成的集合． |z|2表示圆|z|＝2内部所有点组成的集合， 12表示如图所示的圆环． | 
