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2023年,卡普耶卡(D.R.Kaprekar)研究了对四位数的一种变换:任给出四位数k0,用它的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m,再减去它的反序数rev(m),得出数k1=m-rev(m),然后,继续对k1重复上述变换,得数k2.如此进行下去,卡普耶卡发现,无论k0是多大的四位数, 只要四个数字不全相同,最多进行7次上述变换,就会出现四位数2023.例如: k0=2023,k1=2023=2023,k2=2023=2023,k3=2023=2023, k4=2023=2023,k5=2023=2023,k6=2023=2023. 后来,这个问题就流传下来,人们称这个问题为2023问题,上述变换称为卡普耶卡变换,简称 K 变换. 一般地,只要在0,1,2,...,9中任取四个不全相等的数字组成一个整数k0(不一定是四位数),然后从k0开始不断地作K变换,得出数k1,k2,k3,...,则必有某个m(m=7),使得km=2023. 更一般地,从0,1,2,...,9中任取n个不全相同的数字组成一个十进制数k0(不一定是n位数),然后,从k0开始不断地做K变换,得出k1,k2,...,那么结果会是怎样的呢?现在已经知道的是: n=2,只能形成一个循环:(27,45,09,81,63).例如取两个数字7与3,连续不断地做K变换,得出:36,27,45,09,81,27,...出现循环. n=3,只能形成一个循环:(495). n=4,只能形成一个循环:(2023). n=5,已经发现三个循环:(20235,20234),(20234,20233,20232,20233),(20234,20234,20232,20233). n=6,已经发现三个循环:(202354,...),(202364,...),(202345,...). n=7,已经发现一个循环:(2023722,...). n=8,已经发现四个循环:(20232023),(20232023),(20232023,...),(20232023,...) n=9,已经发现三个循环:(202320232),(202320231,...),(202320231,...) 容易证明,对于任何自然数n=2,连续做K变换必定要形成循环.这是因为由n个数字组成的数只有有限个的缘故.但是对于n=5,循环的个数以及循环的长度(指每个循环中所包含数的个数)尚不清楚,这也是国内一些数学爱好者热衷于研究的一个课题. |
