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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．下列符合三段论推理形式的为() A．如果pq，p真，则q真 B．如果bc，ab，则ac C．如果a∥b，b∥c，则a∥c D．如果a＞b，c＞0，则ac＞bc 解析：由三段论的推理规则可以得到B为三段论. 答案：B 2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是() ①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意 两条棱的夹角都相等． A．①B．②C．①②③D．③ 解析：由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的. 答案：C 3．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是() A．假设2是有理数 B．假设3是有理数 C．假设2或3是有理数 D．假设2＋3是有理数 解析：假设结论的反面成立，2＋3不是无理数，则2＋3是有理数. 答案：D 4．已知ai，biR(i＝1,2,3，…，n)，a12＋a22＋…＋an2＝1，b12＋b22＋…＋bn2＝1，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为() A．1 B．2 C．n2 D．2n 解析：此结论为“a，b，c，dR，a2＋b2＝1，c3＋d2＝1，则ac＋bda2＋c22＋b2＋d22＝1”的推广，类比可得a1b1＋a2b2＋…＋anbna12＋b122＋a22＋b222＋…＋an2＋bn22＝1. 答案：A 5．在下列函数中，最小值是2的是() A．y＝x2＋2x B．y＝x＋2x＋1(x＞0) C．y＝sinx＋1sinx，x(0，2) D．y＝7x＋7－x 解析：A中x的取值未限制，故无最小值． D中，∵y＝7x＋7－x＝7x＋17x2，等号成立的条件是x＝0. B、C选项均找不到等号成立的条件. 答案：D 6．一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x|－1＜x＜13}，则ab的值为() A．－6 B．6 C．－5 D．5 解析：∵ax2＋bx＋1＞0的解集是{x|－1＜x＜13}， －1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的两根， －1＋13＝－ba－113＝1ab＝－2，a＝－3，ab＝－3(－2)＝6. 答案：B 7．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是() A．2 B．22 C．4 D．5 解析：因为1a＋1b＋2ab21ab＋2ab＝21ab＋ab4，当且仅当1a＝1b，且 1ab＝ab，即a＝b＝1时，取“＝”. 答案：C 8．在直角坐标系中，若不等式组y0，y2x，yk(x－1)－1，表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是() A．(－，－1) B．(－1,2) C．(－，－1)(2，＋) D．(2，＋) 解析：先作出y0，y2x，的平面区域如图： 若k＝0时，显然不能与阴影部分构成三角形． 若k＞0，将阴影部分的点如(0,0)代入yk(x－1)－1，有0－k－1，显然不能与阴影部分构成三角形，所以k＜0；又y＝k(x－1)－1是过定点(1，－1)的直线，由图知，若与阴影部分构成三角形，则有－k－1＞0， 故k＜－1时，原不等式组能构成三角形区域. 答案：A 9．如果a＞b，给出下列不等式，其中成立的是() (1)1a＜1b；(2)a3＞b3； (3)a2＋1＞b2＋1; (4)2a＞2b. A．(2)(3) B．(1)(3) C．(3)(4) D．(2)(4) 解析：∵a、b符号不定，故(1)不正确，(3)不正确． ∵y＝x3是增函数，a＞b时，a3＞b3，故(2)正确． y＝2x是增函数，a＞b时，2a＞2b，故(4)正确. 答案：D 10．设函数f(x)＝－3(x＞0)，x2＋bx＋c (x0)，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)1的解集为() A．(－，－3][－1，＋) B．[－3，－1] C．[－3，－1](0，＋) D．[－3，＋) 解析：当x0时，f(x)＝x2＋bx＋c且f(－4)＝f(0)，故对称轴为x＝－b2＝－2，b＝4. 又f(－2)＝4－8＋c＝0，c＝4， 令x2＋4x＋41有－3－1； 当x＞0时，f(x)＝－21显然成立． 故不等式的解集为[－3，－1](0，＋). 答案：C 11．若直线2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则2a＋1b的最小值是() A．2－2 B.2－1 C．3＋22 D．3－22 解析：由x2＋y2－2x－4y－6＝0得 (x－1)2＋(y－2)2＝11， 若2ax＋by－2＝0平 分圆， 2a＋2b－2＝0，a＋b＝1， 2a＋1b＝2(a＋b)a＋a＋bb＝3＋2ba＋ab 3＋2 2baab＝3＋22， 当且仅当2ba＝ab，且a＋b＝1，即a＝2－2，b＝2－1时取等号. 答案：C 12．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站() A．5 km处 B．4 km处 C．3 km处 D．2 km处 解析：由题意可设y1＝k1x，y2＝k2x，k1＝xy1，k2＝y2x， 把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8， y1＝20x ，y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)， 费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋20x2 0.8x20x＝8， 当且仅当0.8x＝20x，即x＝5时等号成立，故选A. 答案：A 第Ⅱ卷(非选择共90分) 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”： 仿此，52的“分裂”中最大的数是 ，53的“分裂”中最小的数是. 解析：由已知中“分裂”可得 故“52”的“分裂”中最大的数是9,53的“分裂”中最小的数是21. 答案：921 14．由图①有面积关系：S△PABS△PAB＝PAPBPAPB，则由图②有体积关系：VP－ABCVP－ABC＝__________. 解析：设三棱锥C-PAB的高为h， 15．已知等比数列{an}中，a2＞a3＝1，则使不等式a1－1a1＋a2－1a2＋a3－1a3＋…＋an－1an0成立的最大自然数n是__________． 解析：∵a2＞a3＝1，0＜q＝a1a2＜1，a1＝1q2＞1， a1－1a1＋a1－1a2＋a3－1a1＋…＋an－1an ＝(a1＋a2＋…＋an)－1a1＋1a2＋…＋1an ＝a1(1－qn)1－q－1a11－1qn1－1q＝a1(1－q4)1－q－q(1－qn)a1(1－q)qn0， a1(1－qn)1－qq(1－qn)a1(1－q)qn. 因为0 ＜q＜1，所以，化简得：a121qn－1，即q4qn－1， 4n－1，n5，所以n的最大值为5. 答案：5 16．设实数x，y满足x－y－20，x＋2y－50，y－20，则u＝yx－xy的取值范围是__________． 解析：作出x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是13，2， 即yx13，2，故令t＝yx， 则u＝t－1t，根据函数u＝t－1t在t13，2上单调递增，得u－83，32. 答案：－83，32 三、解答题：本大题共6小题，共7 0分． 17．(10分)在三角形中有下面的性质： (1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的中位线等于第三边的一半； (3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心； (4)三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)r(r为三角形内切圆半径，a、b、c为三边长)． 请类比出四面体的有关相似性质． 解析：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的中位面(过三条棱的中点的面)的面积等于第四个面的面积的四分之一；新课] (3)四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心； (4)四面体的体积为V ＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r(r为四面体内切球的半径，S1、S2、S3、S4为四面体的四个面的面积)． 18．(12分)已知a＞0，b＞0，求证b2a＋a2ba＋b. 解析：b2a＋a2b－(a＋b)＝b2a－a＋a2b－b ＝(b＋a)(b－a)a＋(a＋b)(a－b)b ＝(a－b)(a＋b)1b－1a＝1ab(a－b)2(a＋b)， ∵a＞0，b＞0，b2a＋a2ba＋b. 19．(12分)为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t0)万元满足x＝4－k2t＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)． (1)将该厂家2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数； (2)该厂家2023年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？ 解析：(1)由题意有1＝4－k1，得k＝3，故x＝4－32t＋1. y＝1.56＋12xxx－(6＋12x)－t ＝3＋6x－t＝3＋64－3t－1－t ＝27－182t＋1－t(t0)． (2)由(1)知： y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12. 由基本不等式 9t＋12＋t＋2023t＋12t＋12＝6， 当且仅当9t＋12＝t＋12， 即t＝2.5时，等号成立， 故y＝27－182t＋1－t ＝27.5－9t＋12＋t＋2023.5－6＝21.5. 当t＝2.5时，y有最大值21.5.所以2023年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大． 20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，…. (1)求a1，a2； (2)猜想数列{Sn}的通项公式． 解析：(1)当n＝1时， x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝12. 当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－12， 于是a2－122－a2a2－12－a2＝0， 解得 a2＝16. (2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0， Sn2－2Sn＋1－anSn＝0. 当n2时，an＝Sn－Sn－1，代 入上式得 Sn－1Sn－2Sn＋1＝0① 由(1)得S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23. 由①可得S3＝34，由此猜想Sn＝nn＋1，n＝1,2,3，…. 21．(12分)设二次函数f(x)＝ax2＋b x＋c的一个零点是－1，且满足[f(x)－x]f(x)－x2＋120恒成立． (1)求f(1)的值； (2)求f(x)的解析式； 解析：(1)由均值不等式得x2＋122x2＝x， 若[f(x)－x]f(x)－x2＋120恒成立， 即xx2＋12恒成立， 令x＝1得112＋12＝1，故f(1)＝1. (2)由函数零点为－1得f(－1)＝0，即a－b＋c＝0， 又由(1)知a＋b＋c＝1，所以解得a＋c＝b＝12. 又f(x)－x＝ax2＋12x＋c－x＝ax2－12x＋c， 因为f(x)－x0恒成立，所以＝14－4ac0， 因此ac116① 于是a＞0，c＞0.再由a＋c＝12， 得acc＋a22＝116② 故ac＝116，且a＝c＝14， 故f(x)的解析式是f(x)＝14x2＋12x2＋12x＋14. 22．(12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣 越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形． (1)求出f(5)； (2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式． 解析：(1)∵f(1)=1，f(2)=5，f(3)=13，f(4)=25， f(5)=25+44=41. (2)∵f(2)-f(1)=4=41， f(3)-f(2)=8=42， f(4)-f(3)=12=43， f(5)-f(4)=16=44， 由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n. f(n)-f(n-1)=4(n-1)， f(n-1)-f(n-2)=4(n-2)， f(n-2)-f(n-3)=4(n-3)， … f(2)-f(1)=41， f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1] =2(n-1)n， f(n)=2n2-2n+1. | 
