|
高三数学章末综合测试题（5）三角函数、解三角形 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．已知角的终边过点P(－8m，－6sin30)，且cos＝－45，则m的值为() A．－12B.12C．－32D.32 解析：∵|OP|＝64m2＋9，且cos＝－8m64m2＋9＝－45， m＞0，且64m264m2＋9＝－2023＝－45，m＝12. 答案：B 2．已知扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是() A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 解析：设扇形的圆心角为 rad，半径为R， 则2R＋R＝6，12R2＝2，解得＝1，或＝4. 答案：C 3．已知函数f(x)＝sinx＋3(＞0)的最小正周期为，则该函数图像() A．关于直线x＝4对称 B．关于点(3，0)对称 C．关于点(4，0)对称 D．关于直线x＝3对称 解析：∵T＝，＝2. ∵当x＝4 时，f(x)＝12；当x＝3时，f(x)＝0，图像关于(3，0)中心对称. 答案：B 4．要得到函数y＝cos2x的图像，只需将函数y＝cos2x－3的图像() A．向右平移6个单位 B．向右平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向左平移6个单位 解析：由cos2x＝cos2x－3＝cos2x＋3 知，只需将函数y＝cos2x－3的图像向左平移6个单位. 答案：D 5．若2a＝3sin2＋cos2，则实数a的取值范围是() A.0，12 B.12，1 C.－1，－12 D.－12，0 解析：∵3sin2＋cos2＝2sin2＋6，又34＜2＋6＜56 ，1＜2sin2＋6＜2， 即1＜2a＜2，0＜a＜12. 答案：A 6．函数y＝3sin－2x－6(x[0，])的单调递增区间是() A.0，5 B.6，23 C.6，11 D.23，2023 解析：∵y＝－3sin2x＋6，由2k22x＋2k2，kZ，得 ＋x＋23，kZ. 又x[0，]，k＝0.此时x6，23. 答案：B 7．已知tan＝12，tan(－)＝－25，那么tan(2－)的值是() A．－112 B.112 C.322 D.318 解析：tan(2－)＝tan[＋(－)]＝tan＋tan(－)1－tantan(－)＝12－251－12－25＝112. 答案：B 8．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为，且当x0，2时，f(x)＝sinx，则f53的值为() A．－12 B.12 C．－32 D.32 解析：f53＝f53－2＝f－3＝f3＝sin3＝32. 答案：D 9．已知cos4＋cos4－＝14，则sin4＋cos4的值等于() A.34 B.56 C.58 D.32 解析：由已知，得sin4－cos4－＝14，即12sin2－2＝14，cos2＝12. sin22＝1－122＝34。则sin4＋cos4＝1－2sin2cos2＝1－12sin22＝1－38＝58. 答案：C 10．已知、为锐角，且sin＝55，sin＝2023，则＋＝() A．－3 B.4或3 C.3 D.4 解析：∵、为锐角，且sin＝55，sin＝2023， cos＝255，cos＝20230，且＋(0，)，cos(＋)＝coscos－sinsin ＝20230－2023＝20230＝22， ＋＝4. 答案：D 11．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为() A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：∵cos2B2＝a＋c2c，2cos2B2－1＝a＋cc－1， cosB＝ac，a2＋c2－b22ac＝ac，c2＝a2＋b2， 故△ABC为直角三角形． 答案：B 12．在沿海某次台风自然灾害中，台风中心最大风力达到10级以上，大风降雨给沿海地区带为严重的灾害，不少大树被大风折断，某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是() A.2023米 B．106米 C.2023米 D．202米 解析：设折断点与树干底部的距离为x米． 则xsin45＝20sin(180－75－45)＝20sin60， x＝20sin45sin60＝2023＝2023(米). 答案：A 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．若4是函数f(x)＝sin2x＋acos2x(aR，且为常数)的零点，则f(x)的最小正周期是__________． 解析：由题意，得f4＝sin2＋acos24＝0，1＋12a＝0，a＝－2. f(x)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－4－1， f(x)的最小正周期为. 答案： 14．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB.sinAcosB＝34， 则△ABC的形状为__________． 解析：∵tanA＋tanB＝3(tanAtanB－1)， tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3， tanC＝3，又C(0，)，C＝3. sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝32， cosAsinB＝34，sinAcosB＝cosAsinB，sin(A－B)＝0，A＝B. △ABC为正三角形． 答案：正三角形 15．若将函数y＝tanx＋4(＞0)的图像向右平移6个单位后，与函数y＝tanx＋6的图像重合，则的最小值为__________． 解析： 由已知，得tanx－4＝tanx－＋4＝tanx＋6，得4－＝k＋ 6(kZ)，＝－6k＋12(kZ)．∵＞0，当k＝0时，的 最小值为12. 答案：12 16．给出下列命题： ①半径为2，圆心角的弧度数为12的扇形面积为12； ②若、为锐角，tan(＋)＝12，tan＝13，则＋2＝4； ③若A 、B是△ABC的两个内角，且sinA＜sinB，则BC＜AC； ④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且a2＋b2－c2＜0，则△ABC是钝角三角形． 其中真命题的序号是__________． 解析：①中，S扇形＝12R2＝202322＝1， ①不正确． ②中，由已知可得tan(＋2)＝tan[(＋)＋]＝tan(＋)＋tan1－tan(＋)tan＝13＋121－2023＝1， 又、为锐角，tan(＋)＝12＞0，0＜＋＜2. 又由tan＝13＜1，得0＜＜4， 0＜＋2＜34，＋2＝4.②正确． ③中，由sinA＜sinBBC2R＜AC2R(2R为△ABC的外接圆半径)BC＜AC.③正确． ④中，由a2＋b2－c2＜0知，c osC＜0， C为钝角，△ABC为钝角三角形．④正确． 答案：②③④ 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(10分)已知sin＝－55 ，tan＝－13，且、－2，0. (1)求＋的值； (2)求2sin＝4－＋cos4＋的值． 解析：(1)∵sin＝－55，－2，0， cos＝255.tan＝－12， tan(＋)＝tan＋tan1－tantan＝－1. 又∵－＜＋＜0，＋＝－4. (2)由(1)知，＋＝－4， 2sin4－＋cos4＋＝2sin4－＋cos4－＝2sin4－＋cos ＝2cos－sin＝2023＋55＝5. 18．(12分)已知、为锐角，向量a＝(cos，sin)，b＝(cos，sin)，c＝12，－12. (1)若ab＝22，ac＝3－14，求角2－的值； (2)若a＝b＋c，求tan的值． 解析：(1)ab＝(cos，sin)(cos，sin) ＝coscos＋sinsin ＝cos(－)＝22.① ac＝(cos，sin)12，－12 ＝12cos－12sin＝3－14.② 又∵0＜＜2，0＜＜2，－2＜－＜2. 由①得－＝4，由②得＝6. ∵、为锐角，＝512.从而2－＝23. (2)由a＝b＋c，可得cos＝cosa－12，③sin＝sin＋12. ④ ③2＋④2，得cos－sin＝12. 2sincos＝34. 又∵2sincos＝2sincossin2＋cos2＝2tantan2＋1＝34， 3tan2－8tan＋3＝0. 又∵为锐角，tan＞0， tan＝882－2023＝2023＝473. 19．(12分)已知函数f(x)＝Asin(x＋)A＞0，＞0，－2＜2一个周期的图像如图所示． (1)求函数f(x)的表达式； (2)若f()＋f－3＝2023，且为△ABC的一个内角， 求sin＋cos的值． 解析：(1)由图知，函数的最大值为1，则A＝1， 函数f(x)的周期为T＝ 412＋. 而T＝2，则＝2. 又x＝－6时，y＝0，sin2－6＋＝0. 而－2＜2，则3. 函数f(x)的表达式为f(x)＝sin2x＋3. (2)由f()＋f－3＝2023，得 sin2＋3＋sin2－3＝2023，化简，得sin2＝2023. (sin＋cos)2＝1＋sin2＝2023. 由于0 ＜＜，则0＜2＜2， 但sin2＝2023＞0，则0＜2＜，即为锐角， 从而sin＋cos＞0，因此sin＋cos＝75. 20．(12分)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC＝3acosB－ccosB. (1)求cosB的值． (2)若BABC＝2，b＝22，求a 和c. 解析：(1)△ABC中，∵bcosC＝3acosB－ccosB， 由正弦定理，得sinBcosC＝3sinAcosB－sinCco sB， sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB， sin(B＋C)＝sinA＝3sinAcosB. ∵sinA0，cosB＝13. (2)∵BABC＝accosB＝ 13ac＝2，ac＝6. ∵b2＝8＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－4， a2＋c2＝12，a2－2ac＋c2＝0， 即(a－c)2＝0，a＝c＝6. 21．(12分)已知△ABC是半径为R的圆的内接三角形，且2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB. (1)求角C； (2)试求△ABC面积S的最大值． 解析：(1)由2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB， 两边同乘以2R，得 (2RsinA)2－(2RsinC)2＝(2a－b)2RsinB， 根据正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC， a2－c2＝(2a－b)b，即a2＋b2－c2＝2ab. 再由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝22， 又0＜C＜，C＝4. (2)∵C＝4，A＋B＝34. S＝12absinC＝24(2RsinA)(2RsinB)＝2R2sinAsinB ＝2R2sinAsin34－A＝22R2sin2A－4＋12R2， 当2A－2，即A＝38时， S有最大值12＋22R2. 22．(12分)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道．赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinx(A＞0，＞0)，x[0,4]的图像，且图像的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定MNP＝120. (1)求A，的值和M，P两点间的距离； (2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 解析：方法一： (1)依题意， 故NP+MN＝2023sin＋2023sin(60－) ＝202312sin＋32cos ＝2023sin(＋60)． ∵0＜＜60，当＝30时，折线段赛道MNP最长． 即将PMN设计为30时，折线段赛道MNP最长． 方法二：(1)同方法一； (2)在△MNP中，MNP＝120，MP＝5， 由余弦定理，得 MN2＋NP2－2MNNPcosMNP＝MP2， 即MN2＋NP2＋MNNP＝25. 故(MN＋NP)2－25＝MNMN＋NP22， 从而34(MN＋NP)225，即MN＋NP2023， 当且仅当MN＝NP时等号成立． 即设计为MN＝NP时，折线段赛道MNP最长． | 
