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高三数学三角函数、解三角形章末复习测试（有答案） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1．已知是第一象限角，tan ＝34，则sin 等于() A.45 B.35 C．－45 D．－35 解析B由2k＜＜2＋2kkZ，sin cos ＝34，sin2＋cos2＝1，得sin ＝35. 2．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B1，则△ABC是() A．直角 三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 解析Asin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B＝sin[(A－B)＋B]＝sin A1， 又sin A1，sin A＝1，A＝90，故△ABC为直角三角形． 3．在△ABC中，A＝60，AC＝16，面积为2023，那么BC的长度为() A．25 B．51 C．493 D．49 解析D由S△ABC＝12ABACsin 60＝43AB＝2023，得AB＝55，再由余弦定理， 有BC2＝162＋552－20235cos 60＝2 401，得BC＝49. 4．设，都是锐角，那么下列各式中成立的是() A．sin(＋sin ＋sin B．cos(＋cos cos C．sin(＋sin(－) D．cos(＋cos(－) 解析C∵sin(＋)＝sin cos ＋cos sin ，sin(－)＝sin cos －cos sin ， 又∵、都是锐角，cos sin 0，故sin(＋sin(－)． 5．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电 视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东 75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是() A．22 km B．32 km C．33 km D．23 km 解析B如图，由条件知AB＝202360＝6 .在△ABS中，BAS＝30， AB＝6，ABS＝180－75＝105，所以ASB＝45. 由正弦定理知BSsin 30＝ABsin 45， 所以BS＝ABsin 30sin 45＝32.故选B. (2023威海一模)若函数y＝Asin(x＋)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2， 直线x＝3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是() A．y＝4sin4x＋ B．y＝2sin2x＋3＋2 C．y＝2sin4x＋3 ＋2 D．y＝2sin4x＋6＋2 解析D∵A＋m＝4，－A＋m＝0，A＝2，m＝2. ∵T＝2，＝2T＝4.y＝2sin(4x＋)＋2. ∵x＝3是其对称轴，sin43＋＝1. 43＋2＋kZ)． ＝k6(kZ)． 当k＝1时，6，故选D. 7．函数y＝sin(2x＋)是R上的偶函数，则的值是() A．0 B. C. D． 解析C当2时，y＝sin2x＋2＝c os 2x，而y＝cos 2x是偶函数． 8．在△ABC中“cos A＋sin A＝cos B＋sin B”是“C＝90”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析BC＝90时，A与B互余，sin A＝cos B，cos A＝sin B，有cos A＋sin A＝cos B＋sin B成立；但当A＝B时，也有cos A＋sin A＝cos B＋sin B成立，故“cos A＋sin A＝cos B＋sin B”是“C＝90”的必要不充分条件． 9．△ABC的三边分别为a，b，c，且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是() A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析D∵2b＝a＋c，4b2＝(a＋c)2， 又∵b2＝ac，(a－c)2＝0，a＝c，2b＝a＋c＝2a， b＝a，即a＝b＝c. 10．f(x)＝Asin(x＋)(A＞0，＞0)在x＝1处取最大值，则() A．f(x－1)一定是奇函数 B．f(x－1)一定是偶函数 C．f(x＋1)一定是奇函数 D．f(x＋1)一定是偶函数 解析D∵f(x)＝Asin(x＋)(A＞0，＞0)在x＝1处取最大值，f(x＋1)在x＝0处取最大值，即y轴是函数f(x＋1)的对称轴，函数f(x＋1)是偶函数． 11．函数y＝sin2x－3在区间－上的简图是() 解析A令x＝0得y＝sin－3＝－32，排除B，D.由f－3＝0，f6＝0，排除C. 12．若tan ＝lg(10a)，tan ＝lg1a，且＋＝4，则实数a的值为() A．1 B.110 C．1或110 D．1或10 解析Ctan(＋)＝1tan ＋tan 1－tan tan＝lg10a＋lg1a1－lg10alg1a＝1lg2a＋lg a＝0， 所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或110. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2023黄冈模拟)已知函数f(x)＝Acos(x＋)的图象如图所 示，f2＝－23，则f(0)＝________. 解析由图象可得最小正周期为2 所以f(0)＝f23，注意到22关于712对称， 故f23＝－f2＝23. 【答案】23 14．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边，sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，且 满足ab＝4，则△ABC的面积 为________． 解析由sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，得a2＋b2－ab＝c2，2cos C＝1.C＝60. 又∵ab＝4，S△ABC＝12absin C＝124sin 60＝3. 【答案】3 15．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个 照明光源，射向地面的光呈圆形，且其 轴截面顶角为120，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的 高度为________m. 解析轴截面如图，则光源高度h＝15tan 60＝53(m)． 【答案】53 16. 如图所示，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为i(i＝1,2,3)，则cos13cos2＋33－sin13sin2＋33＝________. 解析记相应的三个圆的圆心分别是O1，O2，O3，半径为r，依题意知，可考虑特殊情 形，从而求得相应的值．当相应的每两个圆的公共弦都恰好等于圆半径时，易知 有1＝2＝3＝23＝43，此时cos13cos2＋33－sin13sin2＋33 ＝cos1＋2＋33＝cos43＝cos3＝－cos3＝－12. 【答案】－12 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝lg22，且B为锐角，试判断此三角形的形状． 解析∵lg sin B＝lg22，sin B＝22， ∵B为锐角，B＝45. 又∵lg a－lg c＝lg22，ac＝22. 由正弦定理，得sin Asin C＝22， 2sin C＝2sin A＝2sin(135－C)， 即sin C＝sin C＋cos C，cos C＝0，C＝90， 故△ABC为等腰直角三角形． 18．(12分)已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＋1(xR，＞0)的最小正周期是2. (1)求 的值； (2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合． 解析(1)f(x)＝1＋cos 2x＋sin 2x＋1 ＝sin 2x＋cos 2x＋2 ＝2sin2x＋4＋2. 由题设，函数f(x)的最小正周期是2，可得2＝2， 所以＝2. (2)由(1)知，f(x)＝2sin4x＋4＋2. 当4x＋2＋2kZ)，即x＝16＋k2(kZ)时， sin4x＋4取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是2＋2，此时x的集合为xx＝16＋k2，kZ. 19．(12分)在△ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Aa＝3cos Cc. (1)求角C的大小； (2)如果a＋b＝6，CACB＝4，求c的值． 解析(1)因为asin A＝csin C，sin Aa＝3cos Cc， 所以sin C＝3cos C．所以tan C＝3. 因为C(0，)，所以C＝3. (2)因为CACB＝|CA||CB|cos C＝12ab＝4， 所以ab＝8.因为a＋b＝6，根据余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝12. 所以c的值为23. 20．(12分)在△ABC中，a， b，c分别是角A，B，C的对边，m＝(2b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，且m∥n. (1)求角A的大小； (2)求y＝2sin2B＋cos3－2B的值域． 解析(1)由m∥n得(2b－c)cos A－acos C＝0. 由正弦定理得2sin Bcos A－sin Ccos A－sin Acos C＝0. 所以2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0， 即2sin Bcos A－sin B＝0. 因为A，B(0，)，所以sin B0，cos A＝12， 所以A ＝3. (2)y＝2sin2B＋cos3cos 2B＋sin3sin 2B ＝1－12cos 2B＋32sin 2B ＝sin2B－6＋1. 由(1)得023，所以－2B－76， 所以sin2B－－12，1，所以y12，2. 21．(12分)设函数f(x)＝sin(2x＋)(－0)的图象过点8，－1. (1)求； (2)求函数y＝f(x)的周期和单调增区间； (3)画出函数y＝f(x)在区间[0，]上的图象． 解析(1)∵f(x)＝sin(2x＋)的图象过点8，－1， －1＝sin4＋，4＝2k2(kZ)， 又(－，0)，＝－34.f(x)＝sin2x－34. (2)由题意，T＝2，由(1)知f(x)＝sin2x－34， 由2k22x－32k2(kZ)得增区间为k8，k8(kZ)． (3)f(x)在[0，]上的图象如图： 22．(12分)已知sin－4＝35，34. (1)求cos－4的值； (2)求sin 的值． 解析(1)∵sin－4＝35，且34， 0－2，cos－4＝ 45. (2)sin ＝sin－4＝sin－4＋cos－4＝2023. | 
