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1．在△ABC中，A＝60，a＝43，b＝42，则() A．B＝45或135 B．B＝135 C．B＝45 D．以上答案都不对 解析：选C.sin B＝22，∵a＞b，B＝45. 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝6，B＝120，则a等于() A.6 B．2 C.3 D.2 解析：选D.由正弦定理6sin 120＝2sin Csin C＝12， 于是C＝30A＝30a＝c＝2. 3．在△ABC中，若tan A＝13，C＝150，BC＝1，则AB＝__________. 解析：在△ABC中，若tan A＝13，C＝150， A为锐角，sin A＝110，BC＝1， 则根据正弦定理知AB＝BCsin Csin A＝102. 答案：102 4．已知△ABC中，AD是BAC的平分线，交对边BC于D，求证：BDDC＝ABAC. 证明：如图所示，设ADB＝， 则ADC＝－. 在△ABD中，由正弦定理得： BDsin A2＝ABsin ，即BDAB＝sinA2sin ；① 在△ACD中，CDsin A2＝ACsin－， CDAC＝sinA2sin .② 由①②得BDAB＝CDAC， BDDC＝ABAC. 一、选择题 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120，则sin A∶sin B的值是() A.53 B.35 C.37 D.57 解析：选A.根据正弦定理得sin Asin B＝ab＝53. 2．在△ABC中，若sin Aa＝cos Cc，则C的值为() A．30 B．45 C．60 D．90 解析：选B.∵sin Aa＝cos Cc，sin Acos C＝ac， 又由正弦定理ac＝sin Asin C. cos C＝sin C，即C＝45，故选B. 3．(2023年高考湖北卷)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60，则cos B＝() A．－223 B.223 C．－63 D.63 解析：选D.由正弦定理得15sin 60＝10sin B， sin B＝10sin 2023＝202315＝33. ∵a＞b，A＝60，B为锐角． cos B＝1－sin2B＝1－332＝63. 4．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是() A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：选B.由题意有asin A＝b＝bsin B，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形． 5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝3，a＝3，b＝1，则c＝() A．1 B．2 C.3－1 D.3 解析：选B.由正弦定理asin A＝bsin B，可得3sin3＝1sin B， sin B＝12，故B＝30或150. 由a＞b，得A＞B，B＝30. 故C＝90，由勾股定理得c＝2. 6．(2023年天津质检)在△ABC中，如果A＝60，c＝4，a＝4，则此三角形有() A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 解析：选B.因csin A＝23＜4，且a＝c，故有唯一解． 二、填空题 7．在△ABC中，已知BC＝5，sin C＝2sin A，则AB＝________. 解析：AB＝sin Csin ABC＝2BC＝25. 答案：25 8．在△ABC中，B＝30，C＝120，则a∶b∶c＝________. 解析：A＝180－30－120＝30， 由正弦定理得： a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3. 答案：1∶1∶3 9．(2023年高考北京卷)在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝23，则a＝________. 解析：由正弦定理，有3sin23＝1sin B， sin B＝12.∵C为钝角， B必为锐角，B＝6， A＝6. a＝b＝1. 答案：1 三、解答题 10．在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，且a＋b＋c＝30，求a. 解：∵sin A∶sin B∶sin C＝a2R∶b2R∶c2R＝a∶b∶c， a∶b∶c＝4∶5∶6.a＝20235＝8. 11．在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c.已知a＝5，b＝2，B＝120，解此三角形． 解：法一：根据正弦定理asin A＝bsin B，得sin A＝asin Bb＝2023＝534＞1.所以A不存在，即此三角形无解． 法二：因为a＝5，b＝2，B＝120，所以A＞B＝120.所以A＋B＞240，这与A＋B＋C＝180矛盾．所以此三角形无解． 法三：因为a＝5，b＝2，B＝120，所以asin B＝5sin 120＝532，所以b＜asin B．又因为若三角形存在，则bsin A＝asin B，得b＞asin B，所以此三角形无解． 12．在△ABC中，acos(2－A)＝bcos(2－B)，判断△ABC的形状． 解：法一：∵acos(2－A)＝bcos(2－B)， asin A＝bsin B．由正弦定理可得：aa2R＝bb2R， a2＝b2，a＝b，△ABC为等腰三角形． 法二：∵acos(2－A)＝bcos(2－B)， asin A＝bsin B．由正弦定理可得： 2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B， A＝B.(A＋B＝不合题意舍去) 故△ABC为等腰三角形． | 
